pole trójkąta

[anitkaa27]

Dany jest sześcian ABCDEFGH którego krawędź a długość 1. Na krawędziach \(\displaystyle{ GH}\), \(\displaystyle{ CB}\), \(\displaystyle{ AF}\) wybrano odpowiednio punkty X, Y, Z w taki sposób, że:
-długość odcinka \(\displaystyle{ HX}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości odcinka \(\displaystyle{ GH}\)
-długosć odcinka \(\displaystyle{ CY}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości odcinka \(\displaystyle{ CB}\)
-długośc odc. \(\displaystyle{ EZ}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) gługości odc. \(\displaystyle{ AE}\).

Oblicz pole trójkąta XYZ.

[Sherlock]

Na krawędziach GH, CB, AF

rozumiem, że chodzi o krawędź AE

Trójkąt XYZ jest równoboczny (dlaczego?*). Długość jego boku wyliczysz dzięki tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |YZ|^2=|AZ|^2+|AY|^2}\)
wiemy, że \(\displaystyle{ |AZ|= \frac{1}{3}}\), ile wynosi \(\displaystyle{ |AY|}\)? To też z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AY|^2=|AB|^2+|BY|^2}\)

* spróbuj, podobnie jak wyżej, policzyć boki XY oraz XZ - zauważysz, że mają taką samą długość jak YZ.

[lidka95]

Pole tego trójkąta powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{11 \sqrt{3} }{36}}\) ?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ P= \frac{7 \sqrt{3} }{18}}\)
Ile wyszła ci długość boku trójkąta?

[lidka95]

Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{11} }{3}}\)

[Sherlock]

Długość boku winna wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{14} }{3}}\)

[lidka95]

Mógłbyś rozpisać, jak Ci to wyszło ?

[Sherlock]

To ja poproszę, żebyś napisała jak to liczyłaś Znajdziemy co jest nie tak.

[lidka95]

To tak.
\(\displaystyle{ \left| AZ\right|^{2}}\) wyszło mi z pitagorasa \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\), a \(\displaystyle{ \left| AY\right|^{2}}\)=\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ \left| ZY\right|^{2}= \frac{11}{9} \Leftarrow \Rightarrow
\left| ZY\right|= \frac{ \sqrt{11} }{3}}\)
Teraz podstawiałam do wzoru na pole trójkąta równobocznego:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{ \sqrt{11} }{3} \right) ^{2} \cdot \sqrt{3}}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ |AZ|^2= \frac{1}{9}}\) OK
\(\displaystyle{ |AY|^2}\) liczymy w trójkącie ABY a tam:
\(\displaystyle{ |AY|^2=1^2+( \frac{2}{3})^2=...}\)

[lidka95]

Czyli tu się machnęłam. Dzięki