Kartka z trójkątem

[luna1518]

Kartka papieru ma kształt trójkąta równoramiennego prostokątnego o wierzchołkach A, B, C, przy czym punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego. Kartkę tę zgięto wzdłuż wysokości BD (D spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka B) w ten sposób, że płaszczyzny ABD i CBD utworzyły kąt dwuścienny prosty. Wykaż, że wówczas odcinki AD i DC są prostopadłe oraz miara kąta ABC jest równa 60(stopni).

[Sherlock]

Jeśli chodzi o pierwszą część zadania, zerknij tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/

... _07_04.asp i poczytaj o kącie dwuściennym i liniowym
Jeśli chodzi o drugą część: wiedząc już, że AD jest prostopadłe do CD , zauważ, że: \(\displaystyle{ |AD|=|DB|=|DC|}\) czyli z tw. Pitagorasa wiemy, że: \(\displaystyle{ |AB|=|AC|=|BC|}\) - trójkąt ABC jest równoboczny.

[karol9924]

A mógłbyś napisać to krok po kroku bo nie za dużo z tego zrozumialem.

[Sherlock]

Płaszczyzny ABD oraz CBD tworzą kąt dwuścienny, odcinek BD jest jego krawędzią. Tworzymy kąt liniowy (zerknij do linku) wystawiając z punktu D na krawędzi dwie prostopadłe do niej leżące na płaszczyznach. W naszym przypadku, wystawione prostopadłe zawierają odcinki AD oraz CD (zerknij na rysunek po lewej, stamtąd wiemy, że AD oraz CD są prostopadłe do BD). Skoro tak to kąt ADC jest kątem liniowym tego kąta dwuściennego. Znając kąt dwuścienny, znamy kąt liniowy (zerknij do podanego linku) - skoro kąt dwuścienny jest prosty to kąt liniowy ADC też jest prosty.
W drugiej części: wiemy, że \(\displaystyle{ |AD|=|DB|=|DC|}\) (powróćmy do rysunku po lewej tam to dobrze widać) więc korzystając z tw. Pitagorasa wiemy, że \(\displaystyle{ |AB|=|AC|=|BC|}\) czyli trójkąt ABC (ten na rysunku po prawej) jest równoboczny.

[karol9924]

Dzięki, już dużo zrozumiałem, choć nie do końca wiem skąd bierze się zapis \(\displaystyle{ |AD|=|DB|=|DC|}\) i później
|\(\displaystyle{ AB|=|AC|=|BC|}\) Przepraszam ze cię tak męczę, ale próbuje Cię zrozumieć .

[Sherlock]

\(\displaystyle{ |AD|=|DB|=|DC|}\) - to możesz zauważyć na "płaskiej" wersji (rysunek po lewej), masz tam prostokątny trójkąt równoramienny (połowa kwadratu), wysokość BD dzieli trójkąt na dwa przystające prostokątne trójkąty równoramienne.
Przyjmijmy \(\displaystyle{ |AD|=|DB|=|DC|=a}\). Rozważmy prostokątny trójkąt ADB (po prawej stronie), wiemy już, że:
\(\displaystyle{ |AD|=|DB|=a}\) czyli \(\displaystyle{ a^2+a^2=|AB|^2}\), podobnie trójkąty ADC oraz DBC. Otrzymasz:
\(\displaystyle{ |AB|=|AC|=|BC|=a \sqrt{2}}\) czyli trójkąt ABC (po prawej) ma wszystkie boki równej długości.