O kulach

[dawid.barracuda]

Witam. Mam problem z zadaniem:
Pole powierzchni jednej kuli wynosi \(\displaystyle{ 12dm ^{2}}\) a pole powierzchni drugiej \(\displaystyle{ 768cm^{2}}\). Znajdź stosunek objętości większej kuli do objętości mniejszej kuli.
Zadanie rozumiem. Wiem że trzeba podzielić większą objętość przez mniejszą. Ale wyszedł mi wynik iście dziwny, a konkretnie: \(\displaystyle{ \frac{32 \sqrt{ \frac{192}{\pi} } }{ 5 \sqrt{ \frac{30}{\pi} } }}\)
Czy mógłby któryś z szanownych Userów skontrować swój wynik z moim? Dziękuję z góry i pozdrawiam!

[anna_]

Oblicz skalę podobieństwa.
Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{1200}{768} =k^2}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{5}{4}}\) więc...

[dawid.barracuda]

Przepraszam, ale mogłabyś mi wytłumaczyć skalę podobieństwa nmn? W szkole tego nie było, a pewnie się przyda
Sherlock, podałeś stosunek pól, a chodzi o stosunek objętości

[Sherlock]

Sherlock, podałeś stosunek pól, a chodzi o stosunek objętości

tak, posłużyłem się polami aby wyliczyć skalę podobieństwa, teraz podnieś k do sześcianu i masz odpowiedź

[anna_]

Ze stosunku pól pan dyrektor policzył skalę podobieństwa.

Po prostu jak bryły są podobne w skali \(\displaystyle{ k}\), to stosunek ich pól jest równy \(\displaystyle{ k^2}\), a stosunek ich objętości jest równy \(\displaystyle{ k^3}\)

[dawid.barracuda]

Czyli będzie \(\displaystyle{ (\frac{5}{4}) ^{3}}\) ?

[anna_]

Zgadza się.

Twoim sposobem też wyjdzie, tylko chyba gdzieś coś źle policzyłeś.

-- dzisiaj, o 23:08 --

\(\displaystyle{ 1200=4\pi R^2 \Rightarrow R= \frac{10 \sqrt{3\pi} }{ \pi}}\)

\(\displaystyle{ 768=4\pi r^2 \Rightarrow r= \frac{8\sqrt{3\pi} }{ \pi}}\)

Teraz objętości

[Sherlock]

Abstrahując od podobieństwa (piszesz, że go nie miałeś) ze wzoru na pole powierzchni kuli wylicz promień każdej kuli. Następnie wylicz objętości i ich stosunek. Tak jak to Pani Anka wyżej napisała.

[dawid.barracuda]

Ale ja tak właśnie zrobiłem i wyszły takie hebrajskie liczby Tyle że ja przyjąłem: \(\displaystyle{ 120 = 4\pi r ^{2} \Rightarrow \sqrt{ \frac{30}{\pi} }}\) i \(\displaystyle{ 768 = 4\pi r ^{2} \Rightarrow r = \frac{192}{\pi}}\) Gdzie się walnąłem?
---edit---
Aha już wiem. \(\displaystyle{ 12dm = 1200cm}\) xD Ale byk głupi

-- 20 gru 2009, o 00:03 --

Policzyłem wszystko jeszcze raz i promień w kuli gdzie jest 768 Pp wychodzi \(\displaystyle{ \frac{8 \sqrt{3} }{\pi}}\) Czemu u Ciebie nmn przy pierwiastku z trzech jest jeszcze pi? Tak samo mam z kulą z 1200 pp. Brakuje mi pi przy pierwiastku. Gdzie zrobiłem błąd? Może napisz całe działanie to sam go znajdę. Dzięki z góry.

Chyba pojąłem tą skalę podobieństwa. Dzięki za pomoc!

[Sherlock]

Policzyłem wszystko jeszcze raz i promień w kuli gdzie jest 768 Pp wychodzi \(\displaystyle{ \frac{8 \sqrt{3} }{\pi}}\) Czemu u Ciebie nmn przy pierwiastku z trzech jest jeszcze pi?

zauważ, że wyciągasz pierwiastek z całego wyrażenia,
\(\displaystyle{ r^2= \frac{192}{\pi}}\)
masz zatem w mianowniku pierwiastek kwadratowy z Pi (nmn usunęła niewymierność z mianownika).

[dawid.barracuda]

Okej, rozumiem. Ale to pi w liczniku jest pod pierwiastkiem?

[Sherlock]

Tak,
\(\displaystyle{ r^2= \frac{192}{\pi} \\ r= \sqrt{\frac{192}{\pi}} = \frac{ \sqrt{192} }{ \sqrt{\pi} }= \frac{8 \sqrt{3} }{ \sqrt{\pi} }}\)
usuwamy niewymierność z mianownika
\(\displaystyle{ r= \frac{8 \sqrt{3} }{ \sqrt{\pi} } \cdot \frac{ \sqrt{\pi} }{\sqrt{\pi}} = \frac{8 \sqrt{3\pi} }{\pi}}\)