Stożki i kule weń wpisane/opisane

[tomazoo28]

1. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi \(\displaystyle{ 3:8}\). Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.

Wyznaczam promien kuli i tworzącą stożka w zależności od promienia podstawy stożka i kąta rozwarcia, i (jeśli tam nie ma pomyłki, ale sprawdzałem) dochodzę do równania \(\displaystyle{ 8 \sin^3 \frac{ \alpha}{2} - 8 sin \frac{ \alpha}{2} - 3 = 0}\) ( \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt rozwarcia stożka) i dalej tego rozwalić nie mogę..


2. Wykaż że stosunek objętości stożka do objętości kuli weń wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli.

Wynika, że trzeba udowodnić \(\displaystyle{ \frac{rH}{R} = r + l}\)(\(\displaystyle{ r}\)- promien podst stożka, \(\displaystyle{ H}\)- wys. stożka, \(\displaystyle{ l}\)- tworząca, \(\displaystyle{ R}\)- promien kuli).
Wyznaczam H, R, l w zależności od r i kąta między tworzącą a podstawą \(\displaystyle{ \alpha}\) i zostaje: \(\displaystyle{ \frac{tg2 \alpha}{tg \alpha} = 1+ \sqrt{1 + tg^2 2 \alpha}}\). Nie radzę dalej..

[Justka]

2. Teza \(\displaystyle{ \frac{rH}{R}=r+l}\) po uzależnieniu wszystkiego od r i alfa sprowadza się do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{tg 2\alpha}{tg \alpha}=1+\frac{1}{cos 2\alpha} \ \ \Leftrightarrow \ \
sin 2\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=cos 2\alpha +1}\)
i dalej już łatwo.

1. Tutaj nie sprawdzałam..., ale wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=sin \frac{\alpha}{2}}\), stąd równanie przyjmuje postać o taką: \(\displaystyle{ t^3-t+\frac{3}{8}=0}\) i odsyłam do kompendium post600203.htm#p600203

[piasek101]

1. ,,Tam" Ci napisałem - tu też podam - po podstawieniu otrzymaj jedno z rozwiązań (-0,5).

Ps. Do @Justka - na końcu było (-3).

[szybki7]

2. w walec o wysokości równej promieniowi podstawy wpisano półkulę i stożek. Wykaż , że róznica między objetością walca i półkuli jest taka sama jak różnica miedzy objętością półkuli i stożka.

[siro13]

no no... nieladnie tomciu... lysy nie bylby z Ciebie dumny, szostkowy uczen sciaga prace domowe z internetu... not nice

[szyha]

proponuję oprzeć się o zasadę Siecznej półkuli opisanej na stożku