1. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi \(\displaystyle{ 3:8}\). Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.
Wyznaczam promien kuli i tworzącą stożka w zależności od promienia podstawy stożka i kąta rozwarcia, i (jeśli tam nie ma pomyłki, ale sprawdzałem) dochodzę do równania \(\displaystyle{ 8 \sin^3 \frac{ \alpha}{2} - 8 sin \frac{ \alpha}{2} - 3 = 0}\) ( \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt rozwarcia stożka) i dalej tego rozwalić nie mogę..
2. Wykaż że stosunek objętości stożka do objętości kuli weń wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli.
Wynika, że trzeba udowodnić \(\displaystyle{ \frac{rH}{R} = r + l}\)(\(\displaystyle{ r}\)- promien podst stożka, \(\displaystyle{ H}\)- wys. stożka, \(\displaystyle{ l}\)- tworząca, \(\displaystyle{ R}\)- promien kuli).
Wyznaczam H, R, l w zależności od r i kąta między tworzącą a podstawą \(\displaystyle{ \alpha}\) i zostaje: \(\displaystyle{ \frac{tg2 \alpha}{tg \alpha} = 1+ \sqrt{1 + tg^2 2 \alpha}}\). Nie radzę dalej..
Stożki i kule weń wpisane/opisane
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Stożki i kule weń wpisane/opisane
2. Teza \(\displaystyle{ \frac{rH}{R}=r+l}\) po uzależnieniu wszystkiego od r i alfa sprowadza się do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{tg 2\alpha}{tg \alpha}=1+\frac{1}{cos 2\alpha} \ \ \Leftrightarrow \ \
sin 2\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=cos 2\alpha +1}\)
i dalej już łatwo.
1. Tutaj nie sprawdzałam..., ale wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=sin \frac{\alpha}{2}}\), stąd równanie przyjmuje postać o taką: \(\displaystyle{ t^3-t+\frac{3}{8}=0}\) i odsyłam do kompendium post600203.htm#p600203
\(\displaystyle{ \frac{tg 2\alpha}{tg \alpha}=1+\frac{1}{cos 2\alpha} \ \ \Leftrightarrow \ \
sin 2\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=cos 2\alpha +1}\)
i dalej już łatwo.
1. Tutaj nie sprawdzałam..., ale wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=sin \frac{\alpha}{2}}\), stąd równanie przyjmuje postać o taką: \(\displaystyle{ t^3-t+\frac{3}{8}=0}\) i odsyłam do kompendium post600203.htm#p600203
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Stożki i kule weń wpisane/opisane
1. ,,Tam" Ci napisałem - tu też podam - po podstawieniu otrzymaj jedno z rozwiązań (-0,5).
Ps. Do @Justka - na końcu było (-3).
Ps. Do @Justka - na końcu było (-3).
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 gru 2009, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grójec
- Podziękował: 1 raz
Stożki i kule weń wpisane/opisane
2. w walec o wysokości równej promieniowi podstawy wpisano półkulę i stożek. Wykaż , że róznica między objetością walca i półkuli jest taka sama jak różnica miedzy objętością półkuli i stożka.
Stożki i kule weń wpisane/opisane
no no... nieladnie tomciu... lysy nie bylby z Ciebie dumny, szostkowy uczen sciaga prace domowe z internetu... not nice