wierzchołki sześcianu - połączono...

[allison]

Cztery wierzchołki sześcianu połączono odcinkami tak, że uzyskano krawędzie wielościanu foremnego. Jaką częścią objętości sześcianu jest objętość tego wielościanu?

Pomóżcie!

[tometomek91]

Objętość sześcianu o boku a \(\displaystyle{ V_{1}=a^{3}}\).
Po połączeniu wierzchołków, powstaje czworościan o boku długości równej długości przekątnej ściany sześcianu - \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\).
Jego objętość wynosi: \(\displaystyle{ V_{2}= \frac{a^{3} \sqrt{2} }{6}}\).
Zatem objętość czworościanu to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} }{6}}\) objętości sześcianu.

[xiikzodz]

Zdaje się objętość tego czworościanu to \(\displaystyle{ \frac{a^3}{3}}\). Jeśli jego krawędź ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt 2}\), to pole jego podstawy to \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt 3}{2}}\), zaś wysokość to \(\displaystyle{ \sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt 3}}\). Stąd ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{a^3}{3}}\).

[piasek101]

Objętość sześcianu o boku a \(\displaystyle{ V_{1}=a^{3}}\).
Po połączeniu wierzchołków, powstaje czworościan o boku długości równej długości przekątnej ściany sześcianu - \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\).

Zdaje się objętość tego czworościanu to \(\displaystyle{ \frac{a^3}{3}}\). Jeśli jego krawędź ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt 2}\), to pole jego podstawy to \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt 3}{2}}\), zaś wysokość to \(\displaystyle{ \sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt 3}}\).

Z obiema wersjami się nie zgodzę.
[edit] Już się zgadzam, przepraszam - patrz poniższe posty.

[edit] Poniższa wersja nie spełnia warunków zadania.
Powstanie czworościan (widzę dwie wersje - ale nie różnią się objętością) :
- podstawa : a; a i przekątna kwadratu
- wysokość (a).

[edit1} Obejrzałem oba powyższe - aby rozstrzygnąć która objętość jest ,,lepsza".
Ta druga - czworościan foremny o krawędzi (b) ma objętość :

\(\displaystyle{ V=frac{b^3sqrt 2}{12}}\)

[Dasio11]

To nie byłby wielościan foremny. Zadanie mówi o czworościanie opisanym przez xiikzodz (obliczeń jej nie sprawdzałem, ale nie sądzę żeby mogła się pomylić).

[piasek101]

Masz rację (wyżej wpiszę poprawkę)- nie za dobrze mi się dzisiaj czyta - nie widziałem ,,foremny"