1. Koło podzielono na dwa wycinki kołowe o kątach środkowych \(\displaystyle{ 60^o}\) i \(\displaystyle{ 300^o}\). Z każdego z tych wycinków tworzymy powierzchnię boczną stożka.
a) jaki jest stosunek promieni podstaw tych stożków?
b) jakie miary mają kąty rozwarcia stożków?
c) jaki jest stosunek wysokości stożków?
2. Koło o promieniu R rozcięto na dwa wycinki i z każdego z nich utworzono powierzchnię boczną stożka. Wykaż, że suma długości promieni podstaw tych stożków jest równa R.
3. Kulę przecięto dwiema płaszczyznami nachylonymi do siebie pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) . W przekroju otrzymano dwa koła, które mają jeden punkt wspólny, przy czym jedno z tych kół jest kołem wielkim kuli.
a) Jaki jest stosunek obwodów tych kół, gdy \(\displaystyle{ \alpha =60^o}\)?
b) Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jedno z tych kół ma pole dwa razy większe od drugiego?
Bryły obrotowe
-
Insignifiante
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 17 gru 2009, o 19:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wlkp
Bryły obrotowe
Ostatnio zmieniony 18 gru 2009, o 10:57 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Bryły obrotowe
1.
a) Tworzymy stożek z wycinka o mierze 60:
Z proporcji: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{1}}{60}= \frac{2 \pi l}{360}}\), gdzie \(\displaystyle{ r_{1}, l}\) to kolejno: promień podstawy stożka, długość tworzącej stożka.
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r_{1}= \frac{l}{6}}\)
Stożek o mierze 300:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{2}}{300}= \frac{2 \pi l}{360}\\
r_{2}= \frac{5l}{6}}\)
Stosunek promieni:
\(\displaystyle{ k= \frac{r_{1}}{r_{2}}}\)
c) Wysokość stożka otrzymujem z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h_{1}= \sqrt{l^{2}+ r^{2}} \Rightarrow h_{1}=(l \sqrt{37})/6\\
h_{2}=...}\)
b) Kąt rozwarcia:
\(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha}{2}= \frac{r}{h}}\)
2.
R - promień koła,
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt pierwszego wycinka,
\(\displaystyle{ 360 - \alpha}\) - kąt drugiego wycinka,
\(\displaystyle{ r_{1}}\) - promień podstawy stożka z pierwszego wycinka,
\(\displaystyle{ r_{2}}\) - promień podstawy stożka z drugiego wycinka,
Pierwszy wycinek:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{1}}{ \alpha}= \frac{2 \pi R}{360}\\
r_{1}= \frac{R \alpha}{2 \pi}}\)
Drugi wycinek:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{2}}{360- \alpha}= \frac{2 \pi R}{360}\\
r_{2}= \frac{R(360- \alpha)}{2 \pi}}\)
Suma promieni:
\(\displaystyle{ r_{1}+r_{2}= \frac{R(360- \alpha)+R \alpha}{2 \pi}=R}\)
a) Tworzymy stożek z wycinka o mierze 60:
Z proporcji: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{1}}{60}= \frac{2 \pi l}{360}}\), gdzie \(\displaystyle{ r_{1}, l}\) to kolejno: promień podstawy stożka, długość tworzącej stożka.
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r_{1}= \frac{l}{6}}\)
Stożek o mierze 300:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{2}}{300}= \frac{2 \pi l}{360}\\
r_{2}= \frac{5l}{6}}\)
Stosunek promieni:
\(\displaystyle{ k= \frac{r_{1}}{r_{2}}}\)
c) Wysokość stożka otrzymujem z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h_{1}= \sqrt{l^{2}+ r^{2}} \Rightarrow h_{1}=(l \sqrt{37})/6\\
h_{2}=...}\)
b) Kąt rozwarcia:
\(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha}{2}= \frac{r}{h}}\)
2.
R - promień koła,
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt pierwszego wycinka,
\(\displaystyle{ 360 - \alpha}\) - kąt drugiego wycinka,
\(\displaystyle{ r_{1}}\) - promień podstawy stożka z pierwszego wycinka,
\(\displaystyle{ r_{2}}\) - promień podstawy stożka z drugiego wycinka,
Pierwszy wycinek:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{1}}{ \alpha}= \frac{2 \pi R}{360}\\
r_{1}= \frac{R \alpha}{2 \pi}}\)
Drugi wycinek:
\(\displaystyle{ \frac{2 \pi r_{2}}{360- \alpha}= \frac{2 \pi R}{360}\\
r_{2}= \frac{R(360- \alpha)}{2 \pi}}\)
Suma promieni:
\(\displaystyle{ r_{1}+r_{2}= \frac{R(360- \alpha)+R \alpha}{2 \pi}=R}\)