1) Ostrosłup ma w podstawie trójkąt o długości boków 6, 10, 14. Oblicz objętość tego ostrosłupa, gdy jego wysokość ma długość 8.
2) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki mają długość 6 i 15. Odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z punktem przecięcia przekątnych podstawy jest wysokością ostrosłupa. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 126. oblicz objętość.
mógłby mi ktoś pomóc? z góry dzięki
ostrosłupy i ich objętość
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
ostrosłupy i ich objętość
1. Do wyznaczenia objętości ostrosłupa wystarczy znaleźć pole podstawy, wykorzystując np. wzór Herona.
2. Z założenia spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie (na każdym prostokącie można opisać okrąg). Zatem ostrosłup jest prosty. Na mocy twierdzenia o ostrosłupie prostym krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość, oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ c}\). Wówczas korzystając z danego już pola powierzchni bocznej oraz z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy \(\displaystyle{ 126=2\frac{6\sqrt{c^2-3^2}}{2}+2\frac{15\sqrt{c^2-(\frac{15}{2})^2}}{2}=6\sqrt{c^2-9}+\frac{15}{2}\sqrt{4c^2-225}}\), tj. \(\displaystyle{ 43=\sqrt{4c^2-36}+\frac{5}{2}\sqrt{4c^2-225}}\). Należy teraz wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ c^2}\) z powyższego równania, po czym z twierdzenia Pitagorasa można łatwo znaleźć długość wysokości ostrosłupa: \(\displaystyle{ H=\sqrt{c^2-(\frac{\sqrt{15^2+6^2}}{2})^2}}\) i w konsekwencji także objętość ostrosłupa.
2. Z założenia spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie (na każdym prostokącie można opisać okrąg). Zatem ostrosłup jest prosty. Na mocy twierdzenia o ostrosłupie prostym krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość, oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ c}\). Wówczas korzystając z danego już pola powierzchni bocznej oraz z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy \(\displaystyle{ 126=2\frac{6\sqrt{c^2-3^2}}{2}+2\frac{15\sqrt{c^2-(\frac{15}{2})^2}}{2}=6\sqrt{c^2-9}+\frac{15}{2}\sqrt{4c^2-225}}\), tj. \(\displaystyle{ 43=\sqrt{4c^2-36}+\frac{5}{2}\sqrt{4c^2-225}}\). Należy teraz wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ c^2}\) z powyższego równania, po czym z twierdzenia Pitagorasa można łatwo znaleźć długość wysokości ostrosłupa: \(\displaystyle{ H=\sqrt{c^2-(\frac{\sqrt{15^2+6^2}}{2})^2}}\) i w konsekwencji także objętość ostrosłupa.