Prostokąty/stożki/walce - potrzebne porady.

[Sihill]

Witam, jako że złapała mnie paskudna grypa nie mogłem chodzić na zajęcia przez ostatnie 2 tygodnie no i chciałbym nadrobić zaległości.

Od naszego matematyka dostaliśmy następujące zadania i po prostu rozkładam ręce - nie mam pojęcia jak je ruszyć.
1) Spośród wszystkich prostokątów o obwodzie 2p wyznacz prostokąt o największym polu.
2) Spośród wszystkich prostokątów o zadanym polu S wyznacz prostokąt o najmniejszym obwodzie.
3) Spośród wszystkich stożków obrotowych wpisanych w kulę o promieniu R wyznacz stożek o największej objętości.
4) Spośród wszystkich walców o objętości V wyznacz walec o najmniejszym polu powierzchni całkowitej.

Najbardziej nie zależy mi na rozwiązaniach a na tym by ktoś wytłumaczył mi jak rozwiązać takie zadanie, każdą pomoc bardzo docenię.

Z góry dzięki, pozdrawiam.

[Justka]

Okay, wszystkie 4 zadania sprowadzają się do znalezienia funkcji opisującej za pomocą jakiejś zmiennej szukaną przez nas wielkość (pole, objętość itd.) oraz na poszukaniu ekstremum takiej funkcji.

I na przykład punkt 4.)
Mamy daną objętość \(\displaystyle{ V}\), a naszym celem jest znalezienie najmniejszego pola powierzchni całk. No to wykorzystajmy sobie tą objętość do wyznaczenia wysokości (aby pozbyć się zbyt dużej ilości zmiennych) \(\displaystyle{ V=\pi r^2 H \Rightarrow H=\frac{V}{\pi r^2 }}\).

Zatem nasze pole przyjmuje postać \(\displaystyle{ P= 2\pi r^2+ 2\pi rH \Leftrightarrow P(r)=2\pi r^2+ \frac{2\pi r V }{\pi r^2} \Rightarrow P(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}}\)

Teraz szukamy ekstremum funkcji P(r), inaczej mówiąc liczymy pochodną P'(r) i przyrównujemy do zera, w taki sposób otrzymamy dla jakiego r nasze pole jest najmniejsze. Na koniec podstawiamy r do wzoru na pole i tyle

Reszta analogicznie.

[Ebi]

Też potrzebowałabym rozwiązania tych zadań.. zależy mi na 3 i 4 do końca rozwiązanym szczególnie. Dziękuje bardzo za odpowiedź;)