Witam wszystkich pasjonatów To mój pierwszy post tutaj, chciałem prosić o sprawdzenie poprawności (lub nie) mojego rozumowania Mam takie oto 4 zadania:
Zad 1.
Pola powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 72
Oblicz:
a) objętość sześcianu
b) długość jego przekątnej
c) pole przekroju otrzymanego w wyniku przecięcia sześcianu płaszczyzną przechodząca przez przekątne przeciwległych ścian sześcianu
Zad 2.
Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, wiedząc że przekątna ściany bocznej o długości 14cm
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 st.
Zad 3.
Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45*. Wiedząc, że
przekątna podstawy ma długość 7cm, oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zad 4.
Przekątne 3 ścian prostopadłościanu mają długość: 8, 10 i 12cm. Wyznacz wymiary tego prostopadłościanu.
Poniżej moje rozwiązanie:
Zad1:
Pc = 72
Szukane: V,d,S=?
gdzie: d - przekątna, S - pole ww przekroju
d1 - przekątna ściany
\(\displaystyle{ P_{c}=6 a^{2}}\)
\(\displaystyle{ 6a^2=72}\)
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V=a^3=(2\sqrt{3})^3=24 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ d_1=a \sqrt{2}=2 \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ d^2=d_1 ^{2}+a^2}\)
\(\displaystyle{ d^2=(2 \sqrt{6})^2+(2 \sqrt{3})^2}\)
\(\displaystyle{ d^2=24+12=36}\)
\(\displaystyle{ d=6}\)
\(\displaystyle{ S=a \cdot d_1=2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6}=4 \sqrt{18}=12 \sqrt{} 2}\)
---------------------------------------------------------------------------------
Zad2: (Tu jest coś nie tak, albo dane są źle dobrane i wyniki wychodzą kosmiczne )
\(\displaystyle{ d = 14cm}\) - przekątna ściany bocznej
\(\displaystyle{ \alpha =60}\)
\(\displaystyle{ h_1}\) - wysokość trójkąta równobocznego w podstawie
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ P_c=P_p+P_b; P_p=2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}; P_b=3 \cdot a \cdot h}\)
\(\displaystyle{ h_1= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{h_1}{d}; cos60= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{h_1}{14} \Rightarrow h_1=7}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}=7}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{14}{ \sqrt{3} }= \frac{14 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ h^2=d^2-a^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=196- \frac{196}{3}= \frac{392}{3}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{14\sqrt{2}}{ \sqrt{3} }= \frac{14 \sqrt{6} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P_p=2 \cdot \frac{ (\frac{14 \sqrt{3} }{3})^2 \cdot \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{196 \sqrt{3} }{6}=\frac{98 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P_b=3 \cdot \frac{14 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{14 \sqrt{6} }{3} =196 \frac{ \sqrt{18} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P_b=196 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ P_c= \frac{98 \sqrt{3} }{3}+196 \sqrt{2}}\)
Ufff.. przebrnąłem nareszcie przez te ułamki
-------------------------------------------------------------------------------------
Zad3:
\(\displaystyle{ \alpha =45}\)
\(\displaystyle{ d_1=7}\) - przekątna podstawy (kwadratu)
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ V, P_c = ?}\)
\(\displaystyle{ h=d_1=7}\), ponieważ \(\displaystyle{ \alpha =45}\)
\(\displaystyle{ d_1=a \sqrt{2}; a= \frac{d_1}{ \sqrt{2} }= \frac{7 \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ V=P_p \cdot h=a^2 \cdot h= \frac{98}{4} \cdot 7=171,5}\)
\(\displaystyle{ P_c=P_p+P_b=2 \cdot a^2+4 \cdot a \cdot h=2 \cdot 24,5+4 \cdot \frac{7 \sqrt{2} }{2} \cdot 7=49+98 \sqrt{2}}\)
--------------------------------------------------------------------------------------------
Zad4:
\(\displaystyle{ d_1=8; d_2=10; d_3=12}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} d_1^2=a^2+b^2 \\ d_2^2=a^2+c^2 \\ d_3^2=b^2+c^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=d_1^2-b^2 \\ d_2^2=d_1^2-b^2+c^2 \\ d_3^2=b^2+c^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} d_2^2-d_1^2=-b^2+c^2 \\ d_3^2=b^2+c^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ d_2^2-d_1^2+d_3^2=2c^2}\)
\(\displaystyle{ c^2= \frac{100-64+144}{2} =90}\)
\(\displaystyle{ c= 3\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ 144=b^2+90}\)
\(\displaystyle{ b^2=144-90=54}\)
\(\displaystyle{ b=3 \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ a^2=64-54=10}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{10}}\)
Z góry dziękuję wszystkim "masochistom", którzy podejmą się walki z moimi wywodami