Największa możliwa objętość sześcianu zaawrtego w półkuli.

[Velitus]

Witam.
Bardzo bym prosił o sprawdzenie pewnego zadania, bowiem uzyskany wynik nie zgadza się z odpowiedzią w książce.
Treść zadania:
Jaka jest największa możliwa objętość sześcianu zawartego w półkuli o promieniu R?

Rozwiązanie:
Narysowałem sobie przekrój tej półkuli i zauważyłem, że w każdej ćwiartce tego przekroju półkuli szukany sześcian musi mieć jeden bok o długości a, drugi o długości 0.5a (jak się połączą 2 ćwiartki to wyjda boki a,a - czyli reasumując wyjdzie sześcian o bokach a,a,a).
Stąd rozpatrujemy sobie trójkąt prostokątny o wymiarach a,0.5a oraz R, czyli:
\(\displaystyle{ R^2=a^2+(0.5a)^2 \\ R^2= \frac{5}{4} a^2 \\ R= \frac{\sqrt{5}}{2} a \\ a=\frac{2\sqrt{5}}{5}R \\ czyli \\ V=a^3=(\frac{2\sqrt{5}}{5}R)^3=\frac{8\sqrt{5}}{25}R^3}\)
Natomiast w odpowiedziach jest wynik:
\(\displaystyle{ V=\frac{2\sqrt{6}}{9}R^3}\)
W takim razie, gdzie mam błąd?

[anna_]

post388080.htm

[Plotkiern]

Nie wyszło Ci, ponieważ przekrój osiowy tych brył (generalnie sześcianu) to półkole z proatokątem o wymiarach a i a sqrt{2} i jeżeli wstawisz
R^2=a^2+1/2×a×2^1/2
To wyliczasz z tego a i wszystko pięknie wychodzi