Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

[Persephone]

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40*. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Niby wydaje się łatwe ale mam problem.
H-wysokość ostrosłupa
d-krawędź boczna
a-krawędź podstawy
c-połowa przekątnej podstawy.

\(\displaystyle{ tg40= \frac{8}{c}}\)
\(\displaystyle{ tg40=0,8391}\)
\(\displaystyle{ 0,8391= \frac{8}{c}}\)
\(\displaystyle{ c \approx 9,5340}\)

Czy to powinno się rozwiązywać w ten sposób? Mam zamroczenie.

[Sherlock]

Dobrze liczysz, ale zostawiłbym w wynikach postać \(\displaystyle{ tg40^0}\). Ewentualnie na końcu, jak już policzysz objętość, przybliż tangens

[Persephone]

Ale jak w takim układzie mam policzyć objętość jeżeli nie znam długości krawędzi podstawy?

[barakuda]

\(\displaystyle{ d_{p}=a \sqrt{2} \Rightarrow a= \frac{d_{p} \sqrt{2} }{2}}\)

[Sherlock]

Tak jak barakuda podpowiada, znając połowę długości przekątnej podstawy czyli \(\displaystyle{ c= \frac{8}{tg40^0}}\), policz całą przekątną i na końcu długość krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\).

[Persephone]

Sorry, że tak zawracam wam głowę, ale czy to ma wyglądać tak?:
\(\displaystyle{ d _{p} =2c}\)
\(\displaystyle{ d _{p} =2 \cdot \frac{8}{tg40 ^{o} }}\)
\(\displaystyle{ d _{p} = \frac{16}{tg40 ^{o} }}\)
\(\displaystyle{ d _{p} ^{2}=2a ^{2}}\)
Ale jak ja mam teraz obliczyć kwadrat z \(\displaystyle{ tg40 ^{o}}\) ? Nie zamieniać tego jeszcze?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ d_p=a \sqrt{2} \\ \frac{16}{tg40 ^{o} }=a \sqrt{2} \\ a= \frac{16}{ \sqrt{2} tg40 ^{o} } \\ a= \frac{8 \sqrt{2} }{tg40^0}}\)
Pole podstawy:
\(\displaystyle{ P_p=a^2= \frac{128}{(tg40^0)^2}}\) ewentualnie teraz podstaw przybliżenie tangensa lub po prostu zostaw \(\displaystyle{ tg^240^0}\)
Objętość wtedy wyniesie:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \frac{128}{(tg40^0)^2}= \frac{1024}{3tg^240^0}}\)