Otrzymany stożek

[Nividis]

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli trójkąt ten będziemy obracać wokół dłuższej przyprostokątnej, to otrzymamy stożek, którego pole powierzchni bocznej wynosi 32pi. Oblicz długości boków tego trójkąta.

[Kartezjusz]

Zauważ,że taki trójkąt jest tylko jeden.Musi bowiem spełniać 2 warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta=90 \\ \alpha+90=2\beta \end{cases}}\)
1.Pierwszy z warunków wynika z fakt,że nasz trójkąt jest prostokątny,a drugi ,bo kąty tworzą ciąg arytmetyczny.
\(\displaystyle{ P_{c}=P_{p}+P_{b}=\pi r^{2}+\pi r l=(1+\cos (60^{\circ})=32\pi}\),bo obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej.
Dzieląc obustronnie przez pi masz równanie:
\(\displaystyle{ r^{2} \cdot \frac{3}{2}=32}\)
To powinno być łatwe do policzenia.

[Nividis]

Ale w tym \(\displaystyle{ P_{c}= P_{p} + P_{b}=32pi}\) to chyba jest nie tak, bo to przecież pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 32pi a nie pole całkowite...

[Kartezjusz]

To jeszcze łatwiej ,bo powierzchnia boczna to
\(\displaystyle{ \pi \cdot r \cdot l=\pi \cdot r \cdot r \cdot \cos60^{\circ}= \pi\frac{1}{2}r^{2}=32\pi}\)
\(\displaystyle{ r=8}\)