v kili i stożka a v walca

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
zmurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lis 2009, o 15:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pokój
Podziękował: 2 razy

v kili i stożka a v walca

Post autor: zmurka »

Wykaż, że suma objętości kuli i stożka przedst. na rys. jest równa objętości walca.

lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

v kili i stożka a v walca

Post autor: lukasz1804 »

Zauważmy najpierw, że walec i stożek o równych promieniach podstawy i wysokościach mają objętości w stosunku 3:1 (objętość stożka jest 3 razy większa od objętości odpowiedniego stożka).
Wystarczy wykazać, że objętość kuli jest 2 razy większa od objętości stożka.
Objętość kuli wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi r^3}\), a objętość stożka to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2r=\frac{2}{3}\pi r^3}\), co dowodzi naszego spostrzeżenia.
ODPOWIEDZ