Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

[SamWieszKto]

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze α.
Wyznacz objętość graniastosłupa.

Proszę o pomoc jak wyznaczyć wysokość ?

[anna_]

AU

7879a12ae65594a4m.png (15.73 KiB) Przejrzano 2812 razy

[/url]

\(\displaystyle{ a= \frac{d}{2}}\)
\(\displaystyle{ |AC|= 2 \cdot \frac{ \frac{d}{2} \sqrt{3} }{2}= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\) - to dwie wysokośći trójkąta równobocznego z podstawy
Z Pitagorasa dla trójkąta DCC'
\(\displaystyle{ |DC'|^2=h^2+\frac{d^2}{4}}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta ACC'
\(\displaystyle{ |AC'|^2=|AC|^2+h^2}\)
\(\displaystyle{ |AC'|^2=(\frac{d \sqrt{3} }{2})^2+h^2}\)
\(\displaystyle{ |AC'|^2=\frac{3d^2}{4}+h^2}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC'
\(\displaystyle{ |AC'|^2=d^2+|DC'|^2-2d|DC'|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ |AC'|^2=d^2+(h^2+\frac{d^2}{4})-2d cos\alpha\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{3d^2}{4}+h^2=d^2+(h^2+\frac{d^2}{4})-2d cos\alpha\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}\)

[SamWieszKto]

Wielkie dzięki