Pare dręczących mnie zadań

[Uninvited]

Witam! Jestem nowy na tym forum, lae już widzę, że będetu często zaglądać.
Zbliża się koniec roku szkolnego, mam teraz więcej czasu i postanowiłem porozwiązywać sobie te trudniejszcze zadania z podręcznika do matematyki. Kończę w tym roku gimnazjum i jeszcze nie wiem na jaki profil się wybieram i porównanie moich pomysłów na rozwiązania z waszymi, albo poznanie ich (a nóż się okaże, że byłem w stanie to zrobić, ale miałem chwilową zaćmę) mogło by mi znacznie pomóc.
Do rzeczy:
1.
Z napełnonego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jajiej wysokości sięga płyn, który pozostał w kieliszku?
wysokość kieliszka= 9cm
promień= 8cm

2.
Czworościan foremny ma objętośćrówną 2\(\displaystyle{ sqrt{2}}\) . Jaką długośćma krawędź tego czworościanu?

[Lady Tilly]

Do zadania pierwszego>Musisz obliczyć najpierw objętość stożka>
Wzór to:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}S_{p}{\cdot}h}\) gdzie \(\displaystyle{ S_{p}}\) to pole podstawy.
Dalej to co Ci wyjdzie musisz podzielić na pół i jeszcze raz podstawić do wzoru na objętość tzn. tą połowę objętości, promień podstawy pozostanie taki sam a zmieni się wysokość, którą musisz obliczyć, bo wystąpi jako niewiadoma.

[ Dodano: Nie Maj 28, 2006 10:58 pm ]
A w drugim podstawiasz do wzoru na objętość i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}{\cdot}a^{3}}{12}}\)
\(\displaystyle{ 24\sqrt{2}=\sqrt{2}{\cdot}a^{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{3}=24}\)
\(\displaystyle{ a=2\sqrt[3]{3}}\)

[Uninvited]

W tym pierwszym chyba wysokość nie zostanie taka sama, bo to stożek się zminiejszy.
Dzięki za pomoc. Mógłbs mi jakoś rozpisać, wyjaśnić ten wzór na czworościan? Skąd się bierze? Bo rozwiązanie dobre, ale chciałbym wiedzieć jak dojść do wzoru

[Lady Tilly]

W pierwszym ja napisałam, że promień się nie zmienia a wysokośc jak najbardziej się zmienia. Jeśli chodzi o drugie to ważniejsze wzory znajdziesz w wikipedii o tutaj:

[Sir George]

promień podstawy pozostanie taki sam

Jakim cudem?

Zmniejsza się nie tylko wysokość, ale i promień podstawy! (po odlaniu dostajemy stożek podobny do wyjściowego, ale mniejszy) - jak rozumiem kieliszek jest w formie odwróconego stożka.

Najłatwiej to zadanie zrobić z proporcji: Jeżeli zmienimy wymiary figury w przestrzeni \(\displaystyle{ \fontsize{2}k}\)-razy, to otrzymana figura (która jest podobna(!) do wyjściowej) zmieni swą objętość \(\displaystyle{ \fontsize{2}k^3}\) razy.
Stąd wysokość stożka zmniejszy się \(\displaystyle{ \fontsize{1.6}\sqrt[3]{2}}\) razy, czyli wyniesie
\(\displaystyle{ \fontsize{2}\frac{9}{\sqrt[3]{2}}=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2}}\)

[Lady Tilly]

Musze przyznać, że co do pierwszego zadania masz rację, po prostu nie wzięłam pod uwagę tego, że kieliszek ma kształt stożka obróconego wierzchołkiem do dołu a faktycznie to wiele zmienia. Sorry za małe zamieszanie.