Witam
1. Sześcian \(\displaystyle{ ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\) o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C_{1}}\) oraz środki krawędzi \(\displaystyle{ BB_{1}}\) i \(\displaystyle{ DD_{1}}\). Oblicz pole \(\displaystyle{ P}\) otrzymanego przekroju.
2. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 15 dm, a krawędź boczna ma długość 10 dm. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa:
a) płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i środki tych krawędzi podstaw, które są do tej krawędzi bocznej skośne.
b) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek górnej podstawy i przekątne ścian bocznych, których wspólnych końcem jest ten wierzchołek.
Z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc
Pozdrawiam.
Przekroje graniastosłupa
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Przekroje graniastosłupa
1. Rozważany przekrój jest rombem. Krótsza jego przekątna (łącząca środki krawędzi \(\displaystyle{ BB_1}\) i \(\displaystyle{ DD_1}\) sześcianu) ma długość równą przekątnej podstawy sześcianu, tj. \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Z kolei dłuższa przekątna jest przekątną \(\displaystyle{ AC_1}\) sześcianu i ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\). Stąd i ze wzoru na pole rombu dostajemy \(\displaystyle{ P=\frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{2}}\).
2.
a) Rozważany tu przekrój jest prostokątem. Jeden z jego boków to krawędź boczna graniastosłupa, a drugi - do niego prostopadły - to wysokość trójkąta równobocznego zawartego w podstawie graniastosłupa.
Stąd i ze wzoru na pole prostokąta oraz wysokość trójkąta równobocznego mamy \(\displaystyle{ P=10 \cdot\frac{15\sqrt{3}}{2}\ dm^2=75\sqrt{3}\ dm^2}\).
b) Przekrojem jest tym razem trójkąt równoramienny o podstawie równej krawędzi podstawy graniastosłupa oraz o ramionach będących przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z ustalonego wierzchołka górnej podstawy graniastosłupa.
Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych łatwo wynika, że odcinek łączący ten wierzchołek ze środkiem przeciwległej mu krawędzi podstawy dolnej graniastosłupa jest wysokością w rozważanym trójkącie.
Na mocy twierdzenia Pitagorasa przekątne ścian bocznych graniastosłupa mają długość \(\displaystyle{ \sqrt{15^2+10^2}\ dm=5\sqrt{13}\ dm}\), a w konsekwencji wysokość trójkąta będącego przekrojem (opuszczona do podstawy) ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{(5\sqrt{13})^2-(\frac{1}{2}\cdot 15)^2}\ dm=\frac{5}{2}\sqrt{43}\ dm}\). Zatem ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{15\cdot\frac{5}{2}\sqrt{43}}{2}\ dm=\frac{75}{4}\sqrt{43}\ dm^2}\).
2.
a) Rozważany tu przekrój jest prostokątem. Jeden z jego boków to krawędź boczna graniastosłupa, a drugi - do niego prostopadły - to wysokość trójkąta równobocznego zawartego w podstawie graniastosłupa.
Stąd i ze wzoru na pole prostokąta oraz wysokość trójkąta równobocznego mamy \(\displaystyle{ P=10 \cdot\frac{15\sqrt{3}}{2}\ dm^2=75\sqrt{3}\ dm^2}\).
b) Przekrojem jest tym razem trójkąt równoramienny o podstawie równej krawędzi podstawy graniastosłupa oraz o ramionach będących przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z ustalonego wierzchołka górnej podstawy graniastosłupa.
Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych łatwo wynika, że odcinek łączący ten wierzchołek ze środkiem przeciwległej mu krawędzi podstawy dolnej graniastosłupa jest wysokością w rozważanym trójkącie.
Na mocy twierdzenia Pitagorasa przekątne ścian bocznych graniastosłupa mają długość \(\displaystyle{ \sqrt{15^2+10^2}\ dm=5\sqrt{13}\ dm}\), a w konsekwencji wysokość trójkąta będącego przekrojem (opuszczona do podstawy) ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{(5\sqrt{13})^2-(\frac{1}{2}\cdot 15)^2}\ dm=\frac{5}{2}\sqrt{43}\ dm}\). Zatem ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{15\cdot\frac{5}{2}\sqrt{43}}{2}\ dm=\frac{75}{4}\sqrt{43}\ dm^2}\).