Miary kątów trójkąta

[sabcia1]

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.Jeżeli trójkąt ten będziemy obracać wokół dłuższej przyprostokątnej, to otrzymamy stożek, którego pole powierzchni bocznej wynosi 32 pi.Oblicz długości boków tego trójkąta.

[bayo84]

Stworzmy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \frac{a+c}{2} \\a^2+b^2=c^2\\a \cdot c=32\end{cases}}\)
I rownanie wynika z zalozenia, ze a,b,c tworza ciag ar.,
II rownanie wynika z Tw. pitagorasa
III rownanie otrzymujemy ze wzoru na piw. boczna stozka

Z III obliczamy:
\(\displaystyle{ c = \frac{32}{a}}\)

z I:
\(\displaystyle{ b = \frac{a+ \frac{32}{a} }{2}}\)

Teraz podstawiamy za c i b w III i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (\frac{32}{a})^2=a^2+( \frac{a+ \frac{32}{a} }{2})^2}\)

Po przeksztalceniach:
\(\displaystyle{ 0 = 5a^4+64a^2-3072}\)

Dalej juz prosta sprawa...

[florek177]

długości boków: \(\displaystyle{ a, a + r , a + 2r}\)

promień stożka - a ; tworząca - ( a + 2r );

Pitagoras + wzór na pole boczne --> \(\displaystyle{ a = \frac{4}{5} \, \sqrt{30}}\)

[sabcia1]

Stworzmy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \frac{a+c}{2} \\a^2+b^2=c^2\\a \cdot c=32\end{cases}}\)
I rownanie wynika z zalozenia, ze a,b,c tworza ciag ar.,
II rownanie wynika z Tw. pitagorasa
III rownanie otrzymujemy ze wzoru na piw. boczna stozka

Z III obliczamy:
\(\displaystyle{ c = \frac{32}{a}}\)

z I:
\(\displaystyle{ b = \frac{a+ \frac{32}{a} }{2}}\)

Teraz podstawiamy za c i b w III i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (\frac{32}{a})^2=a^2+( \frac{a+ \frac{32}{a} }{2})^2}\)

Po przeksztalceniach:
\(\displaystyle{ 0 = 5a^4+64a^2+1024}\)

Dalej juz prosta sprawa...

można trochę jaśniej, nie wychodzi mi nic...

[bayo84]

\(\displaystyle{ 0 = 5a^4+64a^2-3072}\)

oznaczenie: \(\displaystyle{ t = a^2}\)

\(\displaystyle{ 0 = 5t^2+64t-3072}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 64^2-4 \cdot 5 \cdot (-3072) = 65536}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 256}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{-64-256}{10} < 0 - falsz}\)

\(\displaystyle{ t _{2} = \frac{-64+256}{10} = 19,2}\)

Wykonujemy oznaczenie:
\(\displaystyle{ 19,2 = a^2 \Rightarrow a \approx 4,38}\)

Dalej juz tylko podstawiasz do rownan z ukladu rownan.

[sabcia1]

Coś się nie zgadza, wg odpowiedzi boki tego trójkąta wynoszą 4, 4 pierwiastki z 3 oraz 8....

[florek177]

a skąd wiesz, że odpowiedzi są dobre ? to co masz policzone przez nas jest takie same, wiec jest dobre.

[Dakota92]

Ciąg arytmetyczny tworzą KĄTY, a nie boki. Polecam zajrzeć tutaj 159680.htm

[florek177]

faktycznie - niedoczytane. Ale żeby tak od razu z grubej rury - nie uchodzi !!

[Inkwizytor]

Jest tylko zestaw kątów w trójkącie prostokątnym który tworzy ciąg arytmetyczny.

Dakota bez nerw.
errare humanum est