jaką długość może mieć przekątna prostopadłościanu
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
jaką długość może mieć przekątna prostopadłościanu
Z założenia łatwo dostajemy, że wysokość prostopadłościanu wynosi \(\displaystyle{ z=4}\).
Przekątna prostopadłościanu ma długość daną wzorem \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+\frac{36}{x^2}+16}}\), gdyż z założenia jest \(\displaystyle{ xy=6}\).
Określmy funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+\frac{36}{x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Zbadajmy, czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga wartości ekstremalne. Muszą one być miejscami zerowymi pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\). Ze względu na nieskończone wartości granic funkcji \(\displaystyle{ f}\) na końcach przedziału jej określoności może istnieć jedynie wartość minimalna.
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=2x-\frac{72}{x^3}=2\frac{x^4-36}{x^3}}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Stąd dostajemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{6}}\) jako jedyny argument funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla którego wartość minimalna może być osiągana.
Zatem \(\displaystyle{ f(\sqrt{6})=12}\) jest najmniejszą wartością osiąganą przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
W konsekwencji przekątna prostopadłościanu ma długość nie mniejszą niż \(\displaystyle{ \sqrt{12+16}=2\sqrt{7}}\).
Można też przedstawić rozwiązanie bez pochodnych, choć jest ono mniej eleganckie.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości nie mniejsze niż \(\displaystyle{ 12}\).
Weźmy dowolny argument \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(x)=x^2+\frac{36}{x^2}=\frac{x^4+36}{x^2}=\frac{x^4-12x^2+36+12x^2}{x^2}=\frac{x^4-12x^2+36}{x^2}+12=\frac{(x^2-6)^2}{x^2}+12\ge 0+12=12}\).
Co więcej, wartość \(\displaystyle{ 12}\) jest osiągana (dla \(\displaystyle{ x}\) takiego, że \(\displaystyle{ x^2-6=0}\), tj. dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{6}}\)).
Przekątna prostopadłościanu ma długość daną wzorem \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+\frac{36}{x^2}+16}}\), gdyż z założenia jest \(\displaystyle{ xy=6}\).
Określmy funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+\frac{36}{x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Zbadajmy, czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga wartości ekstremalne. Muszą one być miejscami zerowymi pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\). Ze względu na nieskończone wartości granic funkcji \(\displaystyle{ f}\) na końcach przedziału jej określoności może istnieć jedynie wartość minimalna.
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=2x-\frac{72}{x^3}=2\frac{x^4-36}{x^3}}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Stąd dostajemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{6}}\) jako jedyny argument funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla którego wartość minimalna może być osiągana.
Zatem \(\displaystyle{ f(\sqrt{6})=12}\) jest najmniejszą wartością osiąganą przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
W konsekwencji przekątna prostopadłościanu ma długość nie mniejszą niż \(\displaystyle{ \sqrt{12+16}=2\sqrt{7}}\).
Można też przedstawić rozwiązanie bez pochodnych, choć jest ono mniej eleganckie.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości nie mniejsze niż \(\displaystyle{ 12}\).
Weźmy dowolny argument \(\displaystyle{ x\in(0,+\infty)}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(x)=x^2+\frac{36}{x^2}=\frac{x^4+36}{x^2}=\frac{x^4-12x^2+36+12x^2}{x^2}=\frac{x^4-12x^2+36}{x^2}+12=\frac{(x^2-6)^2}{x^2}+12\ge 0+12=12}\).
Co więcej, wartość \(\displaystyle{ 12}\) jest osiągana (dla \(\displaystyle{ x}\) takiego, że \(\displaystyle{ x^2-6=0}\), tj. dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{6}}\)).