Walce, ostrosłupy, stożki; pola i objętości

[eerroorr]

Zad.1
Powierzchnia boczna walca po rozcięciu i rozwinięciu jest prostokątem, którego przękątna ma długość d= √3cm i tworzy z dłuższym bokiem kąt 30 ° . Oblicz objętość tego walca
Zad.2
Prostąkątny arkusz blachy o wymiarach 20cm i 40cm można zwinąć w dwojaki sposób, otrzymując powierzchnie boczną walca. W którym przypadku walec będzie miał większą objętość ?
Zad.3
Walec ołowiany o średnicy d=0,78m i wysokości 60cm przetopiono na stożki o promieniu podstawy r=3 cm i wysokości 9 cm. Ile takich stożków otrzymano ?
Zad.4
Jedna z krawedzi bocznych ostroslupa o podstawie kwadratowej jest prostopadla do plaszczyzny jego podstawy. Najdluzsza krawedz boczna ostroslupa ma dlugosc 12cm i jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod katem 60 ° . Oblicz objetosc ostroslupa i dlugosci jego pozostalych krawedzi bocznych.
Zad.5
Podstawa ostroslupa SABCD jest prostokat ABCD, w ktorym AB=15cm, BC=9cm. Plaszczyzna sciany SBC tworzy z plaszczyzna podstawy ostroslupa taki kat α , ze
cos α=0,6. Oblicz objetosc ostroslupa.
Zad.6
Długosc promienia podstawy stozka stanowi 60% dlugosci jego tworzacej. Pole powierzchni bocznej tego stozka wynosi 13 Π cm � . Oblicz objetosc stozka.


Z gory bardzo bardzo dziekuję !!

[Tristan]

Zad.2
Podane mamy wymiary pobocznicy walca, tj.\(\displaystyle{ 20}\) i \(\displaystyle{ 40}\) są równe \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ 2 \pi r}\).
Załózmy, że \(\displaystyle{ h=20}\), a wtedy \(\displaystyle{ 2 \pi r=40}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{20}{ \pi}}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ V_{1}= \pi (\frac{20}{ \pi})^2 20=\frac{8000}{ \pi}}\).
Załózmy, że \(\displaystyle{ h=40}\), a wtedy \(\displaystyle{ 2 \pi r=20}\), czyli \(\displaystyle{ r=\frac{10}{ \pi}}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ V_{2}= \pi (\frac{10}{ \pi})^2 40=\frac{4000}{ \pi}}\).
Widzimy, że w pierwszym przypadku objętość walca jest większa.

Zad.3
Z wzoru \(\displaystyle{ V_{w}=\pi r^2 h}\) liczymy objętość walca ( 0,78 m= 78 cm), gdzie \(\displaystyle{ r=\frac{d}{2}}\), gdzie d to oczywiście średnica walca, a r to promień walca.
Mamy więc \(\displaystyle{ V_{w}= 39^2 60 \pi=91260 \pi}\).
Liczymy teraz objętość jednego stożka z wzoru \(\displaystyle{ V_{s}=\frac{1}{3} \pi r^2 h}\). Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ V_{s}=\frac{1}{3} \pi 3^2 9=21 \pi}\).
Ilość otrzymanych stożków po przetopieniu niech będzie równa x. Musi więc zachodzić \(\displaystyle{ x V_{s}=V_{w}}\). Czyli:
\(\displaystyle{ x=\frac{V_{w}}{V_{s}}=\frac{91260 \pi}{21 \pi}=3380}\). Czyli otrzymano 3380 stożków.

[guzik15]

Zad.1.
Dane:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=30 stopni}\)
\(\displaystyle{ Cosinus\,z\,30 stopni\,to\,\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ b=1,5}\)
\(\displaystyle{ H=\frac{1}{2} d}\)
H obliczyłem z cosinusa 60 stopni, dalej myśle ze sobie poradzisz, tylko podstawic do wzoru

[eerroorr]

a moze ktos sprobowalby zrobic zad 4,5,6 ? Bo nie mam pojecia jak sie do tego zabrac ...

[Lady Tilly]

Pomogę do czwartego. Oznaczmy wierzchołki tego ostrosłupa jako ABCDE gdzie ABCD to wierzchołki podstawy a wierzchołek E będzie punktem wspólnym krawędzi. Podstawa jest kwadratem więc wszystkie boki kwadratu mają długość a natomiast przekątna podstawy ma długość \(\displaystyle{ d=a\sqrt{2}}\) . Trójkąt DBE jest prostokątny i mamy dany kąt przy wierzchołku B oraz długość BE więc możemy zapisać tak \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{3})=\frac{a\sqrt{2}}{12}}\) czyli \(\displaystyle{ a=3\sqrt{2}}\) Teraz możesz obliczyć krawędź DE z twierdzenia Pitagorasa tzn. \(\displaystyle{ |DE|^{2}+(6)^{2}=(12)^{2}}\) z tego wyjdzie Ci, że \(\displaystyle{ |DE|=6\sqrt{3}}\) teraz z twierdzenia Pitagorasa możesz obliczyć z trójkata ADE bok AE więc \(\displaystyle{ |AE|^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+(6\sqrt{3})^{2}}\) więc \(\displaystyle{ |AE|=3\sqrt{14}}\) skoro masz już dane wszystkie boki i krawędzie to dalej powinno być prosto.

[eerroorr]

Bardzo Ci dziękuję za pomoc. ....zostaly zad 5 i 6 , kto umie ??

[ Dodano: Sob Maj 20, 2006 12:11 pm ]
Mam problem jeszcze z tym zad.1 . Nie wiem za bardzo jak obliczyc r, zeby podstawic do wzoru...kto pomoze ?

[ Dodano: Sob Maj 20, 2006 12:22 pm ]
albo jak by ktos mogl..krok po kroku jeszcze raz napisac dokladnie to zad.1....

[ Dodano: Sob Maj 20, 2006 12:35 pm ]
oki, nie rozwiazujcie tego zad.1, tylko mam pytanie, czy V tego walca wyszla : 9 pierw z 3 / 32 ?

[Dredek]

Zad. 5

najpierw narysuj sobie ten ostrosłup
� a to jest połowa boku AB, a h to wysokość ściany BC, H to wysokość ostrosłupa.
obliczenia

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{h}}\)

\(\displaystyle{ 0,6=\frac{7\frac{1}{2}}{h}}\)

czyli
h = 12,5

i teraz z pitagorasa obliczamy H ostrosłupa
H � =h � - ( � a) �
czyli
H = 10

teraz objętość
V=Pp*H=a*b*H=15*9*10=1350 cm �

[Tristan]

dredek - obawiam się, że objętość, która Ci wyszła jest trzykrotnie większa od tej prawidłowej.

Zad.6

Oznaczmy wysokość stożka przez \(\displaystyle{ h}\), tworzącą jako \(\displaystyle{ l}\), oraz promień podstawy \(\displaystyle{ r}\).
Pole powierzchni bocznej stożka to \(\displaystyle{ P_{b}= \pi r l}\). Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{3}{5}l=r}\) oraz \(\displaystyle{ P_{b}=13 \pi}\), czyli \(\displaystyle{ 13=rl}\), więc \(\displaystyle{ \frac{3}{5}l^2=13}\), skąd otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ l=5}\) oraz \(\displaystyle{ r= 3}\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy \(\displaystyle{ h}\). Mamy \(\displaystyle{ h^+r^2=l^2}\), czyli podstawiając otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4}\). Teraz tylko podstawić do wzoru na objętość stożka \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \pi r^2 h}\) i mamy, że \(\displaystyle{ V=12 \pi}\).

[eerroorr]

Dzieki Ci )) To jezeli to zad.5 kolega zrobil zle...to jak ma byc to rozwiazane prawidlowo ?

[Tristan]

Po prostu zastosował wzór na objętość graniastosłupa, a nie ostrosłupa, więc dane podstaw do wzoru na objętość ostrosłupa ( wszystkie potrzebne wzory znajdują się w naszym kompendium).

[eerroorr]

wielkie dzieki

[ Dodano: Sob Maj 20, 2006 4:52 pm ]
Jeszcze troche pomarudze....moze ktos napisac dokladnie rozwiazanie tego calego zad.5 ?? bo ja sie pogubilam w rozwiazaniach. A jesli chodzi o V tego ostroslupa, to jak jest wzor V=1/3*Pp*H , to w takim razie jak mam obliczyc Pp jezeli w podstawie jest prostokąt ?

[Tristan]

Skoro w podstawie jest prostokąt o bokach AB i BC to jego pole to \(\displaystyle{ P=|AB| |BC|}\) a te dane już masz podane w zadaniu

[eerroorr]

Dziekuję Ci bardzo *

[Dredek]

a racja pomylił mi się wzór. zapomniałem pomnożyć przez 1/3