Ostrosłup prawidłówy i jego objętość

[pufka69]

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o objętości 48cm\(\displaystyle{ ^{3}}\) . Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), że tg\(\displaystyle{ \alpha}\) =\(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

[barakuda]

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} P_{p} \cdot H= \frac{1}{3} a^2 \cdot H = 48}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{1}{2}a }= \frac{4}{3} \Rightarrow H= \frac{2}{3}a}\)

\(\displaystyle{ 48 = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{2}{3}a}\)

\(\displaystyle{ a^3 = 48 \cdot \frac{9}{2} = 216}\)

\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{216} = 6}\)


\(\displaystyle{ H= 4}\)


\(\displaystyle{ h_{b} = \sqrt{H^2 +( \frac{1}{2}a)^2 } = \sqrt{ 16 + 9 } = 5}\)

\(\displaystyle{ P_{pb}=4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h_{b} = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60 \ cm^2}\)

[adelo]

Wskazówki:

1. Wyrusuj sobie ten ostrosłup
2. Skoro \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{4}{3}}\). To wysokosc bryły wynosi 4, zaś połowa boku kwadratu w podstawie wynosi 3.
3. Z pitagorasa możemy obliczyć krawędź boczną (5j)
4. Dzielimy trójkąt w ścianie bocznej i liczymy wysokość z pitagorasa. (Skoro połowa boku podstawy to 3 to dolna długość trójkąta będzie równa 6)
5. Wyliczamy pole jednego trójkąta ze ściany bocznej.
6. Przemnażamy wszystko razy 4, ponieważ mamy 4 ściany boczne.




@@UP: Wzór na objętość ostrosłupa to: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} PP * H.}\)