Graniastosłup V i Pc

[sowa89]

Przekątna graniastosłupa czworokątnego prawidłowego o długości 8 dm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

[Quaerens]

Narysuj graniastosłup. Zaznacz przekątną, i co wychodzi? Pitagoras. Przekątna = 8 dm i między płaszczyzną i przekątną jest 60stopni, a na przeciw 30. No i z funkcji trygonometrycznych.

-- 9 listopada 2009, 18:11 --

Przekątna podstawy to : \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) Tu nawet własności trójkąta są.

[barakuda]

\(\displaystyle{ sin60^o = \frac{H}{D}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{H}{8}}\)

\(\displaystyle{ H = 4 \sqrt{3}}\)


\(\displaystyle{ cos60^o = \frac{d_{p}}{D}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{d_{p}}{8}}\)

\(\displaystyle{ d_{p} = 4}\)


\(\displaystyle{ d_{p}=a \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ 4 = a \sqrt{2} \Rightarrow a=2 \sqrt{2}}\)


\(\displaystyle{ P_{c} = 2P_{p} + 4P_{b} = 2a^2 + 4a \cdot H = 2 \cdot (2 \sqrt{2})^2 + 4 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{3} = 2 \cdot 8 + 32 \sqrt{6} = 16+32 \sqrt{6} = 16(1+2 \sqrt{6}) \ dm^2}\)

\(\displaystyle{ V=P-{P} \cdot H = a^2 \cdot \cdot H = (2 \sqrt{2})^2 \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \cdot 4 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} \ dm^3}\)