ostrosłup prawidłowy trójkątny
ostrosłup prawidłowy trójkątny
Dany jest ostrosłup trójkątny prawidłowy, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
ostrosłup prawidłowy trójkątny
Do obliczenia miary szukanego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) rozważ dowolną ścianę boczną ostrosłupa, będącą trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i ramieniu \(\displaystyle{ 2a}\).
Mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}}\).
Rozważany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\). Wystarczy wyznaczyć wysokość \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta. Rozważmy w tym celu trójkąt o bokach \(\displaystyle{ h, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\cdot 2a=a}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \beta}\) kąt w tym trójkącie między bokami \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}, a}\). Jest to zarazem kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a płaszczyzną jego podstawy. Mamy przy tym \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{6}}\).
Stąd i z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ h^2=a^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\beta=\frac{7}{4}a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{5}{4}a^2}\), skąd \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{5}}{2}}\).
W konsekwencji ze wzoru na pole trójkąta dostajemy, że pole szukanego przekroju wynosi \(\displaystyle{ P=\frac{ah}{2}=\frac{a^2\sqrt{5}}{4}}\).
Mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}}\).
Rozważany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\). Wystarczy wyznaczyć wysokość \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta. Rozważmy w tym celu trójkąt o bokach \(\displaystyle{ h, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\cdot 2a=a}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \beta}\) kąt w tym trójkącie między bokami \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}, a}\). Jest to zarazem kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a płaszczyzną jego podstawy. Mamy przy tym \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{6}}\).
Stąd i z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ h^2=a^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\beta=\frac{7}{4}a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{5}{4}a^2}\), skąd \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{5}}{2}}\).
W konsekwencji ze wzoru na pole trójkąta dostajemy, że pole szukanego przekroju wynosi \(\displaystyle{ P=\frac{ah}{2}=\frac{a^2\sqrt{5}}{4}}\).