Zbiornik zakończony półkulami.

[Quaerens]

Zaciekawiło mnie to zadanie:


Zbiornik ma kształt walca z obu stron zakończonego półkulami. Oblicz ile litrów płynu wypełni ten zbiornik, jeśli pole całkowite tego zbiornika to \(\displaystyle{ 3\pi m^{2}}\), a wysokość jest równa 2m. Ułożyłem sobie taki układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2(2\pi Rh)+ \pi r^{2}+ 2\pi rh=3\pi m^{2}\\\frac{1}{2}\pi r^{2}h+\frac{1}{6}\pi h^{3}+ \pi r^{2}h=V \end{array}}\)

Dobrze?

[anna_]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\pi rh+4\pi r^2=3\pi \\ \frac{4}{3}\pi r^3+\pi r^2h=V \end{cases}}\)

[Sherlock]

Pole całkowite to pole powierzchni bocznej walca plus pole powierzchni kuli (w końcu dwie połówki to całość )
\(\displaystyle{ 4\pi r^2+2\pi rH=3\pi}\)
Wiemy także, że:
\(\displaystyle{ r+H+r=2}\)
Objętość to objętość walca plus objętości kuli.

[Quaerens]

Hehe a ja wzór na część kuli Trzeba jeszcze poćwiczyć logikę

[natalicz]

a ja mam pytanie czy dwa nie odnosi sie tylko do tej czesci bez półkul?jesli nie to czemu?

[Sherlock]

chodzi o wysokość zbiornika, a zbiornik złożony jest z walca i półkul

[dariaqbuy]

a więc tak moje rozwiązanie- nie wiem czy dobre
wiemy, że:
Ppc= 3m*
H= 2m
Ppc= 2 pi r (r+H) -----> wiemy, że to połowa walca czyli pi r(r+H)
P "pleców" tego pół walca= 2rH

3 "pi" m= "pi"r(r+H) +2rH

wychodzi z tego równanie kwadratowe- r* +6r -3=0
x1=liczba ujemna (wiadomo być nie może)
x2= 2pierwiastki z 3 - 3

V= 1/2"pi"r*H= "pi"(12-12pierwiastki z 3+9)= 21 "pi" - 12pierwiastki z 3 "pi"= 3"pi"(7-4pierwiastki z 3)

[Sherlock]

Pole powierzchni całkowitej zbiornika to pole powierzchni bocznej walca(czerwone) plus pole dwóch półkul czyli pole powierzchni całej kuli(żółte).

zatem
\(\displaystyle{ 4\pi r^2+2\pi rH=3\pi \\ 4r^2+2rH=3}\)
wiemy też, że
\(\displaystyle{ r+H+r=2 \\ H=2-2r}\)
podstaw H do pierwszego równania i wylicz r. Potem wylicz H i objętość (objętość walca plus objętość dwóch półkul czyli objętość kuli).