graniastosłup prawidłowy

[mycha-mycha1]

w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym którego krawędź podstawy ma długość a połączono środek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy. odcinek ten tworzy ze ściana boczną granistosłupa kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\)
Oblicz objętość graniastosłupa

dla jakich kątów alfa zadanie ma rozwiązanie

[Mortify]

oznaczmy sobie jako b rzut odcinka łączącego środek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy na ścianę boczną (ozn jako c). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza kąt między b a tym odcinkiem (zgodnie z treścią zadania).
Odcinek b łączy wierzchołek górnej podstawy (ten sam co tamten odcinek) ze środkiem dolnej krawędzi tej ściany. Mamy więc trójkąt prostokątny o bokach b, c, 0,5a i kącie \(\displaystyle{ \alpha}\). Stąd mamy:
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{a}{2b}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{a}{2tg\alpha}}\)
Z tw. Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ h^2=b^2-( \frac{a}{2})^2}\) gdzie h to wysokość graniastosłupa.
\(\displaystyle{ h^2= (\frac{a}{2})^2*tg^2\alpha - (\frac{a}{2})^2= \frac{a^2}{4} (tg^2\alpha -1)}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a}{2} \sqrt{tg^2\alpha-1}}\)
\(\displaystyle{ V=a^2*h=\frac{a^3}{2} \sqrt{tg^2\alpha-1}}\)

widzimy, że objętość jest określona, gdy \(\displaystyle{ tg^2\alpha - 1 \ge 0}\) i wiemy też że \(\displaystyle{ \alpha >0}\). i to trzeba rozwiązać.

[Czoczo]

Witam. Pozwolę sobie odświeżyć temat, bo w tym zadaniu wychodzi mi nieco inny wynik i zastanawiam się gdzie mam błąd. Oczywiscie tak samo wycchodzi mi b= \(\displaystyle{ \frac{a}{2tg \alpha }}\) . Ale potem w twierdzeniu pitagorasa H wychodzi mi, ech ciężko tym latexem. \(\displaystyle{ \frac{a*sqrt{1-2tg^{2} \alpha }}{2tg \alpha }}\). przepraszam, ale ten wzór nie chciał wyjść w pełni latexem. ma być pierwiastek z 1-tgkwadrat alfa

[Ponewor]

Jak wstawiam do Pitagorasa te wartości, które wyliczył Mortify, wychodzi mi to samo. Czoczo pokaż rachunki.


EDIT

bredzę

[Czoczo]

Robie jakis głupi błąd i nie umiem go znaleźć. Błąd popełniam gdzieś przy podnoszeniu b do kwadratu. skoro b to \(\displaystyle{ \frac{a}{2tg \alpha }}\) to \(\displaystyle{ b^{2}}\)=\(\displaystyle{ \frac{a2}{4tg2 \alpha }}\). Kiedy od \(\displaystyle{ b^{2}}\) odejmę \(\displaystyle{ a/2^{2}}\) i sprowadzeniu do wspólnego mianownika, to wychodzi mi taki wynik jak podałem ;/ A mam wrażenie że w rozumieniu Mortify choć oczywiscie wiem ze to ja się mylę, \(\displaystyle{ b^{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{a2*tg2 \alpha }{4}}\)-- 1 maja 2012, o 11:30 --Może ktoś dopomóc, bo naprawdę nie widzę błędu ;/

[Ponewor]

heh teraz wychodzi mi tak jak tobie

\(\displaystyle{ b= \frac{a}{2\tg\alpha}}\)
\(\displaystyle{ h^2=b^2-( \frac{a}{2})^2}\)

\(\displaystyle{ h= \sqrt{ \left (\frac{a}{2\tg\alpha} \right )^{2}- \left ( \frac{a}{2} \right )^2} = \sqrt{ \frac{a^{2}}{4} \ldot \left (\frac{1}{\tg^{2}\alpha}-1 \right )} = \frac{a \sqrt{1-\tg^{2}\alpha} }{2\tg\alpha}}\)

[Czoczo]

no właśnie też tak mam... zastanawiam się więc które rozwiązanie jest poprawne...

-- 1 maja 2012, o 11:53 --

Czyli rozumiem ze znalazleś błąd w swoim wczesniejszym rozumowaniu, tak?-- 1 maja 2012, o 13:08 --Może ktoś sprawdzić? Z góry dziękuję.

[Mortify]

Spoko, 3 lata temu się pomyliłem z tego co widzę, więc będzie \(\displaystyle{ h= \frac{a}{2}\sqrt{ \frac{1-tg^2 \alpha}{tg^2\alpha}}\)

[Czoczo]

Dziękuję bardzo za pomoc