objętości graniastosłupa

[malgorzatab]

mama do rozwiązania 3 zadania:
zad.1
w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\). wiedząc, że przekątna tego graniastosłupa ma długość 13 cm. Oblicz objętość.
zad. 2
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma 10 cm, tworzy z płaszczyzną podstawy \(\displaystyle{ \sphericalangle 30 ^{\circ}}\) . oblicz objętość.
zad. 3
oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli krawędź podstawy ma 12 cm a h=10 cm.

Może ktoś byłby mi w stanie pomóc

[lukki_173]

Wskazówki:
1. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć wysokość tego graniastosłupa, oraz z tego, że przekątna podstawy wyraża się wzorem \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) (co także wynika z tw. Pitagorasa). Objętość graniastosłupa to \(\displaystyle{ V_{gr}=P_p\cdot H}\), czyli tylko podstawić do wzoru.
2. Sprawdź dobrze treść zadania, chyba chodzi o ostrosłup. Skorzystaj z funkcji trygonometrycznych. Otrzymasz wówczas wysokość trójkąta będącego w podstawie, która jest oczywiście wysokością trójkąta równobocznego. Z tego wzoru \(\displaystyle{ h= \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) po przekształceniach możesz łatwo wyliczyć krawędź ostrosłupa. Następnie musisz policzyć wysokość samego ostrosłupa która pada na przecięcie się wysokości trójkąta będącego w podstawie. Z twierdzenia Pitagorasa liczysz: \(\displaystyle{ 10^2=( \frac{2}{3} \frac{a\sqrt{3}}{2} )^2+H^2}\)
(\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{a\sqrt{3}}{2})}\) bo wysokości dzielą się w stosunku 2:1. Następnie podstaw do wzoru na objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H}\)
3. Podstawienie do wzoru na objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H}\)

[malgorzatab]

Dzięki za wskazówki spróbuję rozwiązać. ad zadanie 2 mnie też coś w nim nie pasuje ale takie dostałam i też się nad nim zastanawiam.

-- 29 paź 2009, o 11:02 --

czy mogłabyś sprawdzić tylko wyniki? bo nie jestem ich pewna
ad. zad1.
przekątna podstawy = 12 cm
wysokość = 5 cm
pole podstawy =\(\displaystyle{ 72 cm ^{2}}\)
objętość = \(\displaystyle{ 360 cm ^{3}}\)

-- 29 paź 2009, o 11:07 --

ad zadanie 3
\(\displaystyle{ Pp= 144 cm ^{2} \\
V=480 cm ^{3}}\)

-- 29 paź 2009, o 11:43 --

a tego zadani nr 2 to nie czaje zupełnie. błagam o pomoc

[lukki_173]

Pierwsze i trzecie masz dobrze.
Co do tego zadania drugiego to raczej na pewno chodzi o ostrosłup. Rozwiązanie prezentuje się następująco.
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź ostrosłupa
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa
Należałoby zrobić rysunek aby było wiadomo, co się skąd wzięło.
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{3}a}{10}=cos30^{\circ} \Rightarrow a=\frac{15\sqrt{3}}{2}\\
\frac{H}{10}=sin30^{\circ} \Rightarrow H=5\\
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3} \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H= \frac{1125\sqrt{3}}{8}}\)
Rozwiązania pisałem już skrótowo, mam nadzieję, że nie ma błędów rachunkowych.
Pozdrawiam

[malgorzatab]

Dzięki za rozwiązanie. Ja to drugie zadanie jakoś wczoraj rozwiązałam tylko wyszły mi inne wyniki. Wysokość się zgadza. Sprawdzę to, widocznie się gdzieś pomyliłam. dzięki bardzo za pomoc.
pozdrawiam

-- 30 paź 2009, o 21:57 --

mam zastrzeżenie co do rozwiązani zadania nr 2 wysokość ostrosłupa wynosi 5 cm. Natomiast wyliczenie a według mnie jest nieprawidłowe. Winno być 2hp/10=cos 30 ^{} o wtedy wysokość trójkąta w podstawie wynosi 15 sqrt{} 32. czyli bok trójkąta w podstawie po wyliczeniach z wzoru hp=a sqrt{} 3/2 wynosi 15 cm. co za tym idzie pole podstawy wynosi 225 sqrt{} 3/2 cm ^{} 2. Tak więc objętość ostrosłupa wynosi 375 sqrt{} 3/4 cm ^{} 3.
Proszę o odpowiedź.