czy istnieje prostopadłościan o objętości
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
czy istnieje prostopadłościan o objętości
Zapiszemy objętość prostopadłościanu w funkcji dwóch zmiennych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}V(x,y,z)=xyz\Leftrightarrow V(x,y)=xy\sqrt{36-x^2-y^2}\\ x^2+y^2+z^2=36\Leftrightarrow z=\sqrt{36-x^2-y^2}\end{cases}}\)
Należy sprawdzić, czy funkcja może przyjmować wartość \(\displaystyle{ 16\sqrt{6}}\). W tym celu zbadaj wartość minimalną i maksymalną tej funkcji; jeśli spełniony będzie warunek: \(\displaystyle{ \min f(x,y)\le16\sqrt{6}\le\max f(x,y)}\), z twierdzenia Darboux otrzymamy, że prostopadłościan o danej objętości istnieje.
\(\displaystyle{ \begin{cases}V(x,y,z)=xyz\Leftrightarrow V(x,y)=xy\sqrt{36-x^2-y^2}\\ x^2+y^2+z^2=36\Leftrightarrow z=\sqrt{36-x^2-y^2}\end{cases}}\)
Należy sprawdzić, czy funkcja może przyjmować wartość \(\displaystyle{ 16\sqrt{6}}\). W tym celu zbadaj wartość minimalną i maksymalną tej funkcji; jeśli spełniony będzie warunek: \(\displaystyle{ \min f(x,y)\le16\sqrt{6}\le\max f(x,y)}\), z twierdzenia Darboux otrzymamy, że prostopadłościan o danej objętości istnieje.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
czy istnieje prostopadłościan o objętości
Pewnie tak. Sześcian o przekątnej równej 6 ma długość boku równą \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) i jego objętość jest wówczas większa od \(\displaystyle{ 16 \sqrt{6}}\).
- tim
- Użytkownik
- Posty: 533
- Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 77 razy
czy istnieje prostopadłościan o objętości
W poleceniu jest równą :dscyth pisze:Pewnie tak. Sześcian o przekątnej równej 6 ma długość boku równą \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) i jego objętość jest wówczas większa od \(\displaystyle{ 16 \sqrt{6}}\).
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
czy istnieje prostopadłościan o objętości
Pokazałem, że istnieje. Mamy rozwiązać:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2+b^2+c^2=36 \\
abc=16\sqrt{6} \\
a>0 \ \wedge \ b>0 \ \wedge \ c>0
\end{cases}}\)
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a=2\sqrt{3}}\). Wówczas troszkę liczenia i mamy np.:
\(\displaystyle{ b=4 \\
c=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2+b^2+c^2=36 \\
abc=16\sqrt{6} \\
a>0 \ \wedge \ b>0 \ \wedge \ c>0
\end{cases}}\)
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a=2\sqrt{3}}\). Wówczas troszkę liczenia i mamy np.:
\(\displaystyle{ b=4 \\
c=2\sqrt{2}}\)