przekątna o 1 dłuższa od krawędzi

[mycha-mycha1]

Przekątna sześciany jest o 1 dłuższa od krawędzi. Oblicz objętość

odp \(\displaystyle{ V= \frac{5+3 \sqrt{3} }{4}}\)

Aby obliczyć a układam równanie

\(\displaystyle{ a ^{2} + \lefta a \sqrt{2}( \right) ^{2}}\)\(\displaystyle{ = \left(a+1 \right) ^{2}}\)
wychodzi mi równanie
\(\displaystyle{ 2a ^{2} -2a -1 =0}\)

następnie a wynosi \(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}\)
Po podniesieniu a do potęgi trzeciej nie dostaję odpowiedniego wyniku
gdzie jest błąd?

[Chromosom]

Żadne takie równanie nie jest potrzebne. Wystarczy skorzystać z tego, że długość przekątnej sześcianu o boku a wynosi \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\) i zapisać proste równanie:
\(\displaystyle{ a\sqrt{3}=a+1}\)
Co do objętości, mi też wychodzi \(\displaystyle{ a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\) i mniemam, że jest to błąd w odpowiedziach.

[Hilda]

Nieprawda, mi wyszło dobrze

Kiedy już mamy wyliczone, że \(\displaystyle{ a= \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}\) i chcemy obliczyć objętość to trzeba ruszyć głową ; )

Korzystamy ze wzoru, że:
\(\displaystyle{ (a+b)^{3}=a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot b + 3 \cdot b^{2} \cdot a + b^{3}}\)

I wynik końcowy to jak byk:

\(\displaystyle{ V = \frac{5 + 3 \sqrt{3}}{4}}\)


EDIT: zapomniałam o mianowniku "4", dlatego edytowałam.

[Sherlock]

\(\displaystyle{ (\frac{1+ \sqrt{3} }{2})^3= \frac{1+3 \sqrt{3}+9+3 \sqrt{3} }{8}= \frac{10+6 \sqrt{3} }{8} = \frac{5+3 \sqrt{3} }{4}}\)
wszystko się zgadza

[mycha-mycha1]

no tak
wzór skróconego mnożenia
dzięki