Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

[bolok]

Treść zadania - Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) . Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Prosiłbym o jakieś wskazówki dotyczące rozwiązania tego zadania

[Sherlock]

Zerknij na ścianę boczną, dorysuj jej wysokość, powstanie trójkąt prostokątny (niebieski):
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{x}{2} }{ a}}\) gdzie x to długość krawędzi podstawy czyli bok trójkąta równobocznego
Mając x wyznacz R czyli promień okręgu opisanego na podstawie (pamiętaj, że podstawa to trójkąt równoboczny), a następnie wylicz wysokość ostrosłupa z tw. Pitagorasa (trójkąt czerwony):
\(\displaystyle{ H^2+R^2=a^2}\)
Potem pozostaje policzyć objętość

[tata69]

Witam. Mam takie same zadanie domowe. Niestety nie zabardzo rozumiem jak je rozwiazac. Chodzi dokładnie oto ze nie mam w zadaniu podanych zadnych wartosci liczbowych. Mamy rozwiazac zadanie jedynie na tzw. literkach. Mogl by ktos pomoc w rozwiazaniu?


Podaje tresc zadania jeszcze raz:
Krawedz boczna ostroslupa prawidlowego trójkatnego ma dlugosc a i tworzy z krawedzia podstawy kat ALPHA. Jaka jest objetosc tego ostroslupa.



HEEEEEELP!

[Sherlock]

Zerknij wyżej
Pamiętaj, że masz dane \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) czyli w rozwiązaniu mogą być tylko te zmienne (inne musisz wyrazić za pomocą tych dwóch).

[Ela91]

Witam.
Zrobiłam zadanie wg Twoich wskazówek, Sherlocku, ale niestety uzyskałam wynik \(\displaystyle{ \frac{a ^{3} \sqrt{2} }{12}}\).
Czy mógłbyś rozwinąć trochę to zadanie funkcjami trygonometrycznymi? Bo niestety ale ja nie mam pojęcia jak to wykonać sinusami/cosinusami itp
Pozdrawiam,
Ela

[Sherlock]

Liczymy krawędź podstawy z:
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{x}{2} }{ a} \\ x=2acos\alpha}\)
czyli pole podstawy (trójkąt równoboczny) wyliczysz bez problemu
W trójkącie równobocznym:
\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3}h= \frac{2}{3} \cdot \frac{x \sqrt{3} }{2}= \frac{x \sqrt{3} }{3}}\) czyli \(\displaystyle{ R= \frac{2 \sqrt{3} acos\alpha}{3}}\)
zaś z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ H^2+R^2=a^2}\)
podstaw R, wylicz H i objętość

[Ela91]

Ehh zrobiłam wg Twoich wskazówek (za które Ci dziękuję) i niestety nadal mi nie wychodzi.
Oto moje obliczenia:
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{x}{2} }{ a} \\ x=2acos\alpha}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{2 \sqrt{3} acos\alpha}{3}}\)
\(\displaystyle{ H^2+R^2=a^2}\)

\(\displaystyle{ H^2 = \frac{9a^2}{9} - \frac{12a^2cos\alpha}{9}}\)
\(\displaystyle{ H = \sqrt{ \frac{9a^2 - 12a^2cos\alpha}{9} }}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{3a-2a \sqrt{3cos\alpha} }{3}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4a^2cos^2\alpha \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{3a - 2a \sqrt{3 cos\alpha} }{3}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{3a^3 \sqrt{3} cos^2\alpha - 6a^3 cos^2\alpha \sqrt{cos\alpha} }{3}}\)
\(\displaystyle{ V = a^3 \sqrt{3} cos^2\alpha - 2a^3 cos^2\alpha \sqrt{cos\alpha}}\)


a powinno wyjść wg podręcznika:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} a^3cos^2\alpha \sqrt{3-4cos^2\alpha}}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ H^2 = \frac{9a^2}{9} - \frac{12a^2cos\alpha}{9}}\)

cosinus też podnieś do kwadratu

\(\displaystyle{ H = \sqrt{ \frac{9a^2 - 12a^2cos\alpha}{9} } \\
H = \frac{3a-2a \sqrt{3cos\alpha} }{3}}\)

no a tak to się nie wyciąga pierwiastka popraw to