Treść zadania:
Pole powierzchni bocznej stożka równa się S.Tworząca ztożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a.Oblicz objętość stożka.
Objętość stożka
-
`vekan
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 23 sty 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: far away
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 71 razy
Objętość stożka
S=\(\displaystyle{ \pi *r*l}\)
r=cosa l bo tworzaca pada pod katem a
wyznaczasz r
potem H/r = tga
masz juz H dalej sobie poradzisz
r=cosa l bo tworzaca pada pod katem a
wyznaczasz r
potem H/r = tga
masz juz H dalej sobie poradzisz
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2006, o 20:13 przez `vekan, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Objętość stożka
Oznaczmy sobie tworzącą jako \(\displaystyle{ l}\), wysokość stożka \(\displaystyle{ h}\) oraz promień podstawy \(\displaystyle{ r}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ S= \pi rl}\). Szukamy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \pi r^2 h}\).
Z funkcji trygonometrycznych mamy, że \(\displaystyle{ \cos =\frac{r}{l}}\), czyli \(\displaystyle{ l=\frac{r}{ \cos }}\). Podstawiając do pierwszego wzoru mamy:
\(\displaystyle{ S=\pi r \frac{r}{ \cos }}\)
\(\displaystyle{ S \cos = \pi r^2}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{ \frac{ S \cos }{ \pi }}}\)
Znów skorzystamy z funkcji trygonometrycznych i otrzymamy zaleźność \(\displaystyle{ ctg =\frac{r}{h}}\), czyli \(\displaystyle{ h=\frac{r}{ ctg }}\). Teraz uzależnione od \(\displaystyle{ S, }\) promień i wysokość, możemy podstawić do wzoru na objętość ( zamieniając od razu \(\displaystyle{ ctg =\frac{ \cos }{ \sin }}\):
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \pi \frac{S \cos }{ \pi} ( \sqrt{ \frac{ S \cos }{ \pi}} \frac{ \sin }{ \cos })}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{ S \sin \sqrt{ S \cos \pi}}{ 3 \pi}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ S= \pi rl}\). Szukamy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \pi r^2 h}\).
Z funkcji trygonometrycznych mamy, że \(\displaystyle{ \cos =\frac{r}{l}}\), czyli \(\displaystyle{ l=\frac{r}{ \cos }}\). Podstawiając do pierwszego wzoru mamy:
\(\displaystyle{ S=\pi r \frac{r}{ \cos }}\)
\(\displaystyle{ S \cos = \pi r^2}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{ \frac{ S \cos }{ \pi }}}\)
Znów skorzystamy z funkcji trygonometrycznych i otrzymamy zaleźność \(\displaystyle{ ctg =\frac{r}{h}}\), czyli \(\displaystyle{ h=\frac{r}{ ctg }}\). Teraz uzależnione od \(\displaystyle{ S, }\) promień i wysokość, możemy podstawić do wzoru na objętość ( zamieniając od razu \(\displaystyle{ ctg =\frac{ \cos }{ \sin }}\):
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \pi \frac{S \cos }{ \pi} ( \sqrt{ \frac{ S \cos }{ \pi}} \frac{ \sin }{ \cos })}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{ S \sin \sqrt{ S \cos \pi}}{ 3 \pi}}\)