Czworościan, odległość punktu od ścian.

[AZS06]

Wewnątrz czworościanu, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość, wybrano dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa wysokości tego czworościanu.

[lukki_173]

99115.htm
Zadanie 3 - treść inna, ale to samo należy wykazać.

[AZS06]

Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd taki zapis ??

\(\displaystyle{ \bl H}\)- długość wysokości czworościanu, którą wyrażę z tw. Pitagorasa następująco:\(\displaystyle{ \ H^2+(\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2})^2=a^2}\)

Chodzi mi przede wszystkim o \(\displaystyle{ (\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2})^2}\)

Pozdrawiam

[lukki_173]

Wysokość czworościanu opada prostopadle na przecięcie się wysokości trójkąta równobocznego, będącego w podstawie. Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym to \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\). Najlepiej narysować sobie obrazek. Wówczas widać, że odległość od wierzchołka czworościanu przy podstawie do spodka wysokości jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości trójkąta równobocznego, stąd zapis \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\).
Pozdrawiam

[anna_]

Po co sobie życie utrudniać.
Jeżeli połączycz punkt P z wierzchołkami czworościanu otrzymasz wewnątrz cztery ostrosłupy, których podstawami będą ściany danego ostrosłupa, czyli trójkąty równoboczne.
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.

\(\displaystyle{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(\displaystyle{ V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(\displaystyle{ H}\)-wysokość danego czworościanu
\(\displaystyle{ V}\)-objętość czworościanu
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{p}H}\)
\(\displaystyle{ V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}}\)
\(\displaystyle{ H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}}\)