Czworościan, odległość punktu od ścian.
-
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Czworościan, odległość punktu od ścian.
Wewnątrz czworościanu, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość, wybrano dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa wysokości tego czworościanu.
-
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Czworościan, odległość punktu od ścian.
Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd taki zapis ??
Pozdrawiam
Chodzi mi przede wszystkim o \(\displaystyle{ (\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2})^2}\)\(\displaystyle{ \bl H}\)- długość wysokości czworościanu, którą wyrażę z tw. Pitagorasa następująco:\(\displaystyle{ \ H^2+(\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2})^2=a^2}\)
Pozdrawiam
- lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
Czworościan, odległość punktu od ścian.
Wysokość czworościanu opada prostopadle na przecięcie się wysokości trójkąta równobocznego, będącego w podstawie. Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym to \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\). Najlepiej narysować sobie obrazek. Wówczas widać, że odległość od wierzchołka czworościanu przy podstawie do spodka wysokości jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości trójkąta równobocznego, stąd zapis \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\).
Pozdrawiam
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Czworościan, odległość punktu od ścian.
Po co sobie życie utrudniać.
Jeżeli połączycz punkt P z wierzchołkami czworościanu otrzymasz wewnątrz cztery ostrosłupy, których podstawami będą ściany danego ostrosłupa, czyli trójkąty równoboczne.
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.
\(\displaystyle{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(\displaystyle{ V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(\displaystyle{ H}\)-wysokość danego czworościanu
\(\displaystyle{ V}\)-objętość czworościanu
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{p}H}\)
\(\displaystyle{ V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}}\)
\(\displaystyle{ H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}}\)
Jeżeli połączycz punkt P z wierzchołkami czworościanu otrzymasz wewnątrz cztery ostrosłupy, których podstawami będą ściany danego ostrosłupa, czyli trójkąty równoboczne.
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.
\(\displaystyle{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(\displaystyle{ V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(\displaystyle{ H}\)-wysokość danego czworościanu
\(\displaystyle{ V}\)-objętość czworościanu
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{p}H}\)
\(\displaystyle{ V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}}\)
\(\displaystyle{ H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}}\)