Niełatwe zadanie z graniastosłupem

andrewt · Post autor: **andrewt** » 14 kwie 2006, o 20:02

Graniastoslup prosty ma trojkat prostokątny w podstawie o przyprostokątnych 6 i 8 a cała bryła ma wysokosc 12. Oblicz pole przekroju plaszczyzną wyznaczoną przez najdluzszą krawedz dolnej podstawy i srodek okregu wpisanego w podstawe gorną

Moja wiedza kończy się na tym ze przeciwprostokątna ma 10, a przekrojem jest trapez.
Co dalej ? Jak obliczyć górną podstawę trapezu ? Co z wysokością?

`vekan · Post autor: **`vekan** » 14 kwie 2006, o 20:11

na pewno trapez skoro środek okregu to jeden punkt

masz odpowiedzi ??
Mi wyszlo że \(\displaystyle{ 10\sqrt{37}}\)

andrewt · Post autor: **andrewt** » 14 kwie 2006, o 20:20

W odpowiedziach jest że to trapez i są
dlugosci boków ale nie pokazano jak je
obliczono.
Pole w odpowiedziach wynosi 15 5/6 sqrt(37)

`vekan · Post autor: **`vekan** » 14 kwie 2006, o 20:21

głupio sformułowana jest treść tego zadania

[ Dodano: Pią Kwi 14, 2006 8:23 pm ]
obliczasz r okręgu ze wzoru Pc= (a+b+c)/2 *r

Potem obliczasz h trapezu dasz rade

andrewt · Post autor: **andrewt** » 14 kwie 2006, o 20:23

myślę to samo, nikt nie potrafi tego zrobić, kompletnie nie wiem skąd wziąć górną podstawą, jaka własnosc okręgu wpisanego mogłaby tu się przydać

[ Dodano: Pią Kwi 14, 2006 8:25 pm ]
jesteś przekonana ze 2r bedzie rowne gornej podstawie ? a jesli tak, to nie daje to nic dla obliczenia wysokosci.

`vekan · Post autor: **`vekan** » 14 kwie 2006, o 20:26

ale możesz obliczyć wysokość z r^2 + H^2 = h^2 przy czym h- wysokośc trapezu
H-wyskokość graniastosłupa czli 12

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 14 kwie 2006, o 23:01

No to ja może jaśniej napisze ...

Jak powiedzial poprzednik, łatwo jest policzyć wysokość tego trapezu, ponieważ jego krótsza podstawa jest równoległa do przeciwprostokątnej podstawy graniastosłupa. Odległosc miedzy tymi dwoma odcinkami wynosci r. Z podanego wyzej wzoru wychodzi, że r=2. Zatem \(\displaystyle{ H^2=12^2+2^2}\), czyli \(\displaystyle{ H=2\sqrt{37}}\)

Potrzebna nam jest jeszcze dlugosc tej krótszej podstawy.

Oznaczmy sobie trójkąc będacy podstawą graniastosłupa jako ABC, gdzie A jest wierzcholkiem przy kącie prostym. Prosta l przecina przyprostokątne tego trójkąta w punktach E, F odpowiednio AB i AC. No i rzecz jasna przechodzi przez srodek okregu wpisanego O. Zrzutujmy sobie punkt E na odcinek BC i niech opada on w punkcie G.

Z podobienstwa trojkatów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{EB}{EG}=\frac{BC}{AC}}\), z tym, że EG=r=2, BC=10, AC=6, czyli \(\displaystyle{ EB=\frac{10}{3}}\)

A teraz Tales. \(\displaystyle{ \frac{10}{8}=\frac{EF}{\frac{14}{3}}}\), czyli \(\displaystyle{ EF=\frac{70}{12}}\)

Teraz tylko podstawiamy do wzoru:

\(\displaystyle{ P=\frac{(10+\frac{70}{12})\cdot 2\sqrt{37}}{2}=15\frac{5}{6}\sqrt{37}}\)