Mam problem z tym o to zadaniem :
W kule o promieniu długości R wpisano walec o najwiekszej obietości . Wyznacz stosunek obietości kuli do obiętości tego walca.
walec wpisany w kulę
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
walec wpisany w kulę
Narysuj sobie przekroj.
Zobaczysz na nim prostokat wpisany w okrag, jego przekatna \(\displaystyle{ d}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ d=2R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promien kuli. Z twierdzenia Pitagorasa uzaleznisz jeden bok od drugiego. Dalej sobie poradzisz.
Zobaczysz na nim prostokat wpisany w okrag, jego przekatna \(\displaystyle{ d}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ d=2R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promien kuli. Z twierdzenia Pitagorasa uzaleznisz jeden bok od drugiego. Dalej sobie poradzisz.
-
jasq
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 10 kwie 2006, o 18:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wroclaw
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
walec wpisany w kulę
tak czy aby napewno ?? a nie jest to zadanie optymalizayje skoro jest mowa o najwiekszej obiętości ??
takie zadanie było juz kiedys na formu zadanie
tylko zastanawiam się czy nie ma kródszego sposobu ??
takie zadanie było juz kiedys na formu zadanie
tylko zastanawiam się czy nie ma kródszego sposobu ??
-
LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
walec wpisany w kulę
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^{2}+H^{2}=4R^{2}\\a^{2}=H^{2}-4R^{2}}\)
To podstawiasz do wzoru na objetosc. Traktujesz objetosc jako funkcje V(H) i liczysz dla jakiego h osiagnie maksimum.
\(\displaystyle{ V=\Pi \frac{1}{4}a^{2}\cdot H}\)
O ile sie nie walnalem to po podstawieniu i uproszczeniu bedzie:
\(\displaystyle{ V=\frac{\Pi H^{3}-4\Pi R^{2}H}{4}}\)
Potem liczysz stosunek.
To podstawiasz do wzoru na objetosc. Traktujesz objetosc jako funkcje V(H) i liczysz dla jakiego h osiagnie maksimum.
\(\displaystyle{ V=\Pi \frac{1}{4}a^{2}\cdot H}\)
O ile sie nie walnalem to po podstawieniu i uproszczeniu bedzie:
\(\displaystyle{ V=\frac{\Pi H^{3}-4\Pi R^{2}H}{4}}\)
Potem liczysz stosunek.
-
jasq
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 10 kwie 2006, o 18:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wroclaw
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
walec wpisany w kulę
Rozwiązanie zadania , może komuś sie przyda ??
z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ H^{2}+(2r)^{2}=(2R)^{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}= R^{2}-\frac{1}{4}H^{2}}\)
\(\displaystyle{ Vw=\pi(r)^{2}H}\)
uzalezniam obietośc od wysokości
\(\displaystyle{ Vw(H)=\pi(R^{2}-\frac{1}{4}H^{2})H= \pi(R)^{2}H-\frac{1}{4}\pi(H)^{3}}\)
pochodna po tej funkcji
\(\displaystyle{ V'w(H)= \pi(R)^{2}-\frac{3}{4}\pi(H)^{2}}\)
\(\displaystyle{ V'w(H)=0 => \pi(R)^{2}-\frac{3}{4}\pi(H)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=\frac{4}{3}(R)^2 , H>0}\)
wysokośc
\(\displaystyle{ H=\frac{2\sqrt{3}}{3}R}\)
podstawiam do tw.Pitagorasa
\(\displaystyle{ r^{2}=R^{2}-\frac{1}{4}(\frac{4}{3}R^{2}) = \frac{2}{3}R^{2}}\)
promień walca
\(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{6}}{3}R}\)
obietoś walca
\(\displaystyle{ Vw=\pi(\frac{\sqrt{6}}{3}R)^{2}(\frac{2\sqrt{3}}{3}R) = \pi \frac{4\sqrt{3}}{9}R^{3}}\)
stosunek obietości
\(\displaystyle{ \frac{Vk}{Vw}=\frac{\pi\frac{4}{3}R^3}{\pi \frac{4\sqrt{3}}{9}R^{3}}=\sqrt{3}}\)
z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ H^{2}+(2r)^{2}=(2R)^{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}= R^{2}-\frac{1}{4}H^{2}}\)
\(\displaystyle{ Vw=\pi(r)^{2}H}\)
uzalezniam obietośc od wysokości
\(\displaystyle{ Vw(H)=\pi(R^{2}-\frac{1}{4}H^{2})H= \pi(R)^{2}H-\frac{1}{4}\pi(H)^{3}}\)
pochodna po tej funkcji
\(\displaystyle{ V'w(H)= \pi(R)^{2}-\frac{3}{4}\pi(H)^{2}}\)
\(\displaystyle{ V'w(H)=0 => \pi(R)^{2}-\frac{3}{4}\pi(H)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=\frac{4}{3}(R)^2 , H>0}\)
wysokośc
\(\displaystyle{ H=\frac{2\sqrt{3}}{3}R}\)
podstawiam do tw.Pitagorasa
\(\displaystyle{ r^{2}=R^{2}-\frac{1}{4}(\frac{4}{3}R^{2}) = \frac{2}{3}R^{2}}\)
promień walca
\(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{6}}{3}R}\)
obietoś walca
\(\displaystyle{ Vw=\pi(\frac{\sqrt{6}}{3}R)^{2}(\frac{2\sqrt{3}}{3}R) = \pi \frac{4\sqrt{3}}{9}R^{3}}\)
stosunek obietości
\(\displaystyle{ \frac{Vk}{Vw}=\frac{\pi\frac{4}{3}R^3}{\pi \frac{4\sqrt{3}}{9}R^{3}}=\sqrt{3}}\)
