1.Przekątne ściany graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzą z krawędzią podstawy kąt alfa= \(\displaystyle{ 60^{o}}\) . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jeśli krawędź boczna ma długość 6cm.
2.Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy:
a) z krawędzią podstawy kąt \(\displaystyle{ 30^{o}}\)
b) z krawędzią boczną kąt \(\displaystyle{ 30^{o}}\)
c) z przekątna graniastosłupa kąt \(\displaystyle{ 30^{o}}\)
Graniastosłup trójkątny oraz czworokątny
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Graniastosłup trójkątny oraz czworokątny
1. przekatna sciany bocznej \(\displaystyle{ d}\) krawędź boczna \(\displaystyle{ b}\) oraz krawędx podstawy \(\displaystyle{ a}\) tworzą trójkat prostokątny, który jest zarazem połową trójkata równobocznego o wysokości równej długości krawedzi bocznej \(\displaystyle{ b}\) i boku równemu przekątnej \(\displaystyle{ d}\) lub podwojonej długości krawedzi podstawy \(\displaystyle{ a}\)
korzystamy ze wzoru na wysokość w tr.równobocznym
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
przekształcając go na nasze potrzeby (oznaczenia)
\(\displaystyle{ b= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 6=\frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{12}{ \sqrt{3} } = 4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}d = 2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{c} = 2 \cdot P_{p} + 3 \cdot P_{b} = 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} + 3 \cdot a \cdot b = 2 \cdot \frac{(2 \sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} }{4} + 3 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 6 = 6 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} = 42 \sqrt{3} cm^2}\)
2a.
krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\), przekątna ściany bocznej \(\displaystyle{ d}\) oraz krawędź boczna \(\displaystyle{ b}\) tworzą trójkat prostokątny, który jest zarazem połową trójkata równobocznego o wysokości równej długości krawedzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) i boku równemu przekątnej \(\displaystyle{ d}\) lub podwojonej długości krawedzi bocznej \(\displaystyle{ b}\)
tak jak w zadani 1 korzystamy ze wzoru na wysokość w trójkacie równoczocznym przekształcając go do naszych oznaczeń
\(\displaystyle{ a= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 5= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{10 \sqrt{3} }{2} = \frac{10 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{1}{2}d = \frac{10 \sqrt{3} }{6}= \frac{5 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{c} = 2 \cdot P_{p} + 4 \cdot P_{b} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot b = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 \cdot \frac{5 \sqrt{3} }{3} = 50+ \frac{100 \sqrt{3} }{3} = \frac{150+100 \sqrt{3} }{3} = \frac{50(3+2 \sqrt{3}) }{3}cm^2}\)
Pozostałe punkty analogicznie
korzystamy ze wzoru na wysokość w tr.równobocznym
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
przekształcając go na nasze potrzeby (oznaczenia)
\(\displaystyle{ b= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 6=\frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{12}{ \sqrt{3} } = 4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}d = 2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{c} = 2 \cdot P_{p} + 3 \cdot P_{b} = 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} + 3 \cdot a \cdot b = 2 \cdot \frac{(2 \sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} }{4} + 3 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 6 = 6 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} = 42 \sqrt{3} cm^2}\)
2a.
krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\), przekątna ściany bocznej \(\displaystyle{ d}\) oraz krawędź boczna \(\displaystyle{ b}\) tworzą trójkat prostokątny, który jest zarazem połową trójkata równobocznego o wysokości równej długości krawedzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) i boku równemu przekątnej \(\displaystyle{ d}\) lub podwojonej długości krawedzi bocznej \(\displaystyle{ b}\)
tak jak w zadani 1 korzystamy ze wzoru na wysokość w trójkacie równoczocznym przekształcając go do naszych oznaczeń
\(\displaystyle{ a= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 5= \frac{d \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{10 \sqrt{3} }{2} = \frac{10 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{1}{2}d = \frac{10 \sqrt{3} }{6}= \frac{5 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{c} = 2 \cdot P_{p} + 4 \cdot P_{b} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot b = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 \cdot \frac{5 \sqrt{3} }{3} = 50+ \frac{100 \sqrt{3} }{3} = \frac{150+100 \sqrt{3} }{3} = \frac{50(3+2 \sqrt{3}) }{3}cm^2}\)
Pozostałe punkty analogicznie