Jak obliczyć pole boczne stożka?

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Witam, jak rozwiązać takie zadania?


1. Kąt ABC rozwarcia stożka ma miarę 60 stopni a suma długości promienia r podstawy i tworzącej l jest równa 21 cm. Oblicz pole boczne tego stożka.

2. Pole powierzchni bocznej stożka jest 2xwiększe niż pole jego podstawy, oblicz tanges kąta alfa nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.



Ad1. Tutaj wiem że

r+l = 21cm

Pb = Pi*rl = Pi*21 i co dalej mam zrobi bo nie mam pojęcia?



Ad2. Tutaj wiem że

Pirl = 2xPi*r \(\displaystyle{ ^{2}}\)

PP=Pi*\(\displaystyle{ ^{2}}\)

I co dalej?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

1. Narysuj przekrój stożka i wysokość. Wysokość dzieli kąt \(\displaystyle{ 60^0}\) na pół, w powstałych trójkątach prostokątnych:
\(\displaystyle{ sin30^0= \frac{r}{l}}\)
pozostaje policzyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin30^0= \frac{r}{l} \\ r+l=21 \end{cases}}\)

2. Najpierw zrób rysunek przekroju, narysuj wysokość, oznacz szukany kąt:
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{H}{r}}\)

potrzebujemy H z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ H^2+r^2=l^2}\)
oraz z treści zadania:
\(\displaystyle{ \pi r l=2 \pi r^2}\)
\(\displaystyle{ l=2r}\)
czyli \(\displaystyle{ H^2=...}\)
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Sherlock pisze:1. Narysuj przekrój stożka i wysokość. Wysokość dzieli kąt \(\displaystyle{ 60^0}\) na pół, w powstałych trójkątach prostokątnych:
\(\displaystyle{ sin30^0= \frac{r}{l}}\)
pozostaje policzyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin30^0= \frac{r}{l} \\ r+l=21 \end{cases}}\)
Mam narysowane, jest to 30 stopni, ale zatrzymałem się na tym...nie umiem rozwiązywać układów równań...

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{r}{l}}\)
pozostaje policzyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2} = \frac{r}{l} \\ r+l=21 \end{cases}}\)

Tyle umiem ale dalej co przez co?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

w pierwszym równaniu wymnóż na krzyż i podstaw np. l z pierwszego równania do drugiego
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Sherlock pisze:2. Najpierw zrób rysunek przekroju, narysuj wysokość, oznacz szukany kąt:
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{H}{r}}\)

potrzebujemy H z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ H^2+r^2=l^2}\)
oraz z treści zadania:
\(\displaystyle{ \pi r l=2 \pi r^2}\)
\(\displaystyle{ l=2r}\)
czyli \(\displaystyle{ H^2=...}\)
A gdzie mam zaznaczyć ten kąt tg alfa? Tzn na wierzchołku, czy przy podstawie?

Możesz to jakoś prościej wytłumaczyć? Bo to Pirl = 2Pir2 rozumiem skąd, ale skąd poniżej wzięło się l=2r?-- 7 wrz 2009, o 18:01 --
Sherlock pisze:w pierwszym równaniu wymnóż na krzyż i podstaw np. l z pierwszego równania do drugiego
Wyszło mi r=2, l=19? Tak?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

1.
Jankowski pisze:A gdzie mam zaznaczyć ten kąt tg alfa? Tzn na wierzchołku, czy przy podstawie?
Jankowski pisze:oblicz tanges kąta alfa nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.


2.
Jankowski pisze:ale skąd poniżej wzięło się l=2r?
podziel obie strony przez \(\displaystyle{ \pi r}\)
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Więc w zadaniu drugim ten kąt alfa znajduje się na dole przy podstawie z tego co rozumiem tak?

Wyszło mi coś takiego:\(\displaystyle{ H ^{2} =r ^{2} - l ^{2}

H ^{2} =2r ^{2} - l ^{2}

H ^{2} =4r - l ?}\)


A co do zadania pierwszego dobrze mi wyszły te wyniki, które napisałem wyżej?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

W pierwszym policz jeszcze raz, powoli...

W drugim kąt dobrze oznaczyłeś ale to tw. Pitagorasa... jakieś takie dziwne... Podstaw \(\displaystyle{ l=2r}\) do tw. Pitagorasa: \(\displaystyle{ H^2=l^2-r^2}\), pamiętaj, że podnosisz do kwadratu! Następnie uporządkuj \(\displaystyle{ r^2}\), wyciągnij pierwiastek i \(\displaystyle{ H}\) podstaw do tangensa, \(\displaystyle{ r}\) się skróci...

PS Napisz czy wszystko jest jasne, nie ma sensu dyktowanie kolejnych kroków bez zrozumienia, skąd się biorą
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Co do pierwszego policzyłem drugi raz wyszło tyle samo :/
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{r}{l}

1l=2r

2r+1l=21

2+19=21}\)

?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

Skoro \(\displaystyle{ l=2r}\) to podstawiamy nasze \(\displaystyle{ l}\) do \(\displaystyle{ l+r=21}\) tzn. w miejsce \(\displaystyle{ l}\) dajemy \(\displaystyle{ 2r}\) i mamy do policzenia:
\(\displaystyle{ 2r+r=21}\)
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Sherlock pisze:W drugim kąt dobrze oznaczyłeś ale to tw. Pitagorasa... jakieś takie dziwne... Podstaw \(\displaystyle{ l=2r}\) do tw. Pitagorasa: \(\displaystyle{ H^2=l^2-r^2}\), pamiętaj, że podnosisz do kwadratu! Następnie uporządkuj \(\displaystyle{ r^2}\), wyciągnij pierwiastek i \(\displaystyle{ H}\) podstaw do tangensa, \(\displaystyle{ r}\) się skróci..
Więc teraz powoli, zrobiłem tego Pitagorasa, o to chodziło:

\(\displaystyle{ H ^{2} = l^{2}-r^{2} \\

H ^{2} = 8-4 \\

H ^{2} = 4 \\

H = 2?}\)
Ostatnio zmieniony 22 lis 2009, o 13:29 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach [latex].
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

\(\displaystyle{ H^2=l^2-r^2}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ l=2r}\) i mamy:
\(\displaystyle{ H^2=(2r)^2-r^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=4r^2-r^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=3r^2}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{3} r}\)
Porównaj teraz te wyliczenia ze swoimi i postaraj się zrozumieć gdzie popełniłeś błędy...
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Do pierwszego, czyli

\(\displaystyle{ l=2r\\
l+2r=21}\)

\(\displaystyle{ 7+14=21}\) - ale jak to rozpisać w tym miejscu? Podzielić przez 2?
Ostatnio zmieniony 22 lis 2009, o 13:30 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Sherlock »

Pierwsze zadania:
\(\displaystyle{ r+l=21}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ l=2r}\) czyli teraz mamy:
\(\displaystyle{ r+2r=21}\)
\(\displaystyle{ 3r=21}\)
\(\displaystyle{ r=7}\)
skoro \(\displaystyle{ r=7}\) to
\(\displaystyle{ 7+l=21}\)
\(\displaystyle{ l=14}\)
Jankowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Jak obliczyć pole boczne stożka?

Post autor: Jankowski »

Do drugiego teraz rozumiem

Więc mam już \(\displaystyle{ H= \sqrt{3r}}\) i mam że \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \sqrt{3r} }{r}}\) teraz mam to podzielić przez \(\displaystyle{ r}\) czy jak? Bo w sumie dużo mi to \(\displaystyle{ H}\) nie dało, nie znam dalej ani \(\displaystyle{ l}\) ani \(\displaystyle{ r}\) i jak z tego \(\displaystyle{ tg}\) wyliczyć?

-- 7 wrz 2009, o 18:48 --

Czyli w pierwszym rozumiem już wszystko

Więc teraz tylko \(\displaystyle{ 7 \cdot 14 \cdot \pi = 98 \pi}\)

Zgadza się, prawda? Więc za pierwsze zadanie wielkie thx
Ostatnio zmieniony 22 lis 2009, o 13:31 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
ODPOWIEDZ