graniastosłup - zadanie optymalizacyjne

kuzio87 · Post autor: **kuzio87** » 2 kwie 2006, o 16:49

Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czwarokątnego o największym polu pow. bocznej, jezeli wiesz że suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa 1.6 m

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 2 kwie 2006, o 19:18

Po przeksztalceniach:
2a+c=0,4
P=4 × a × c
Podstawiasz pod c i liczysz.
Ja doszedlem do takiej postaci:
\(\displaystyle{ P=8\frac{a-5a^{2}}{5}}\)
Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ P_{(a)}}\) i zobacz dla jakiego a przyjmuje maksymalna wartosc i to bylby koniec.

kuzio87 · Post autor: **kuzio87** » 3 kwie 2006, o 16:41

kurcze, mógłbyś dokładniej? krok po kroku?

neo. · Post autor: **neo.** » 3 kwie 2006, o 16:54

x, y - boki podstawy
z - wysokosc
4x+4y+4z=1,6m
x+y+z=0,4m (1)

Pole powierzchi pocznej:
2xz+2yz=2z(x+y) (2)

Z równiania (1) wyznaczasz sumę x+y i podstawiasz do (2), tworząc funkcję u której szukasz wartości maksymalnej:
f(z)=2z(0,4m-z)
f(z)=-2z^2+0,8mz
\(\displaystyle{ p=\frac{-0,8m}{-4}}\)
Czyli p=0,2 więc z=0,2

Graniastosłup miał być prawidłowy, więc jedna zmienna jest niepotrzebna, ale skoro już tu jesteśmy, to z=0,2 (czyli wysokość) i wystarczy obliczyć podstawę.

kuzio87 · Post autor: **kuzio87** » 3 kwie 2006, o 17:29

dobrze p policzyłeś? nie wyjdzie 0,08?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 kwie 2006, o 17:59

Graniastoslup prawidlowy czworokatny ma lacznie 8 krawedzi a (tych od kwadratu w podstawie) oraz 4 c.
Masz rownanie:
8a+4c=1,6 /:4
2a+c=0,4
A teraz to drugie:
\(\displaystyle{ P_{b}=4ac}\)
c=0,4-2a