Stożek + Walec + zadanie optymalizacyjne

[miedzik]

Mam takie zadanie:
W stożek, ktorego przekrojem osiowym jest trojkat rownobozny wpisano walec o najwiekszej objetosci. Oblicz stosunek wysokosci walca do promienia podstawy stozka.

I kilka pytan:
1. Jak jest trojkat rownoboczny i wpisuje w niego jakis prostokat, to ten prostokat bedzie mial najwieksza pole powierzchni wtedy gdy bedzie kwadratem????
2. Jak tak to skad sie bierze ta zaleznosc?

[neo.]

\(\displaystyle{ h=\frac{x\sqrt{3}}{2}}\)
Układamy proporcje:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ x\sqrt{3} } {2} }{ z} = \frac{ \frac{1}{2}x }{ 0,5 x - 0,5 y}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ z=\frac{ (x-y)\sqrt{3}}{4}}\)
Układamy funkcję kwadratową:
\(\displaystyle{ y=-y^2 \frac{\sqrt{3}}{4}+y\frac{x\sqrt{3}}{4}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ p=\frac{x}{2}}\)

[Wildthinks]

Pole maksymalne trzeba "zrobić" pochodną - niestety nie potrafę tego zapisać i zobrazować rysunkiem w poście (jestem matematykiem a nie informatykiem) a jakiś MĄDRY ADMIN/MODERATOR cofnął mój post gdy chciałem Ci pomóc plikiem przesyłanym na mail!!!!!!

[olazola]

Żeby nie było że jesteśmy tacy okrutni zamieszczam rozwiązanie wraz z rysuneczkiem.


\(\displaystyle{ tg 60^{\circ}=\frac{H}{R}\\h=\sqrt{3}R}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{R}=\frac{h}{R-r}}\)
Z powyższej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h=\sqrt{3}\(R-r\)}\)

Następnie rozpisujemy objętość walca:
\(\displaystyle{ V=\pi r^2h\\V(r)=\sqrt{3}\pi r^2\(R-r\)=\sqrt{3}\pi r^2R-\sqrt{3}\pi r^3\\V^{'}(r)=-3\sqrt{3}\pi r^2+2\sqrt{3}\pi Rr}\)

Po przyrównaniu pochodnej do zera otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}R}\)
Wstswiając powyższą wartość do h otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h=\frac{\sqrt{3}}{3}R}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{h}{R}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

[miedzik]

Ok dzieki wszystkim za pomoc, szczegolnie za ostatni post.olazola proponuje zmienic drugi wers w rozwiazaniu powinno byc H=pierw.z 3 * R (zamiast male h duze H).
Pozdrawiam.