trójkąt prostokatny, prostokąt, walec

[szymek12]

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach 2 i 4 wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych trójkąta. Prostokąt ten obraca się dookoła prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną trójkąta, tworząc walec. Oblicz, który z walców otrzymanych w powyższy sposób posiada największe pole powierzchni bocznej i oblicz jego objętość.

[Justka]

Z podobieństwa trójkątów ABC i CDE: \(\displaystyle{ \frac{4}{2}=\frac{4-H}{r} \Rightarrow H=4-2r}\)
Podstawiając do wzoru na pole powierzchni bocznej otrzymujemy
\(\displaystyle{ P=2\pi rH \Rightarrow P(r)=2\pi r(4-2r)}\)

Szukasz dla jakich \(\displaystyle{ r}\) funkcja \(\displaystyle{ P(r)=-4r^2 \pi +8r \pi}\) przyjmuje najwiekszą wartość. Następnie obliczasz wysokość oraz objętość interesującego nas walca.