Ostrosłup prawidłowy trójkątny - prośba o wskazówki

[Alig@tor]

Zadanie miewa się następująco:

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\). Wyznacz kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ostrosłupa

Wstępnie prezentuje wam rysunek i niektóre oznaczenia



Zatem piszę jak wygląda mój sposób rozwiązania niestety nieskuteczny dlatego na koniec proszę o wskazówki dotyczące mojego błędu.

Na rysunku widać że a=2h, aby tego dowieść skorzystałem ze wzoru na cosinus kąta (Zaznaczonego Czerwonym Kolorem) wynosi on \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\). Wiadomo również że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, więc środek wysokości naszego ostrosłupa (Oznaczony literką H) dzieli przekątne podstawy w stosunku 1:2 są one również wysokościami naszej podstawy czyli trójkąta równobocznego. 2/3 wysokości naszej podstawy biorąc pod uwage krawędź a daje nam \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{3}}\). Natomiast 1/3 wysokości daje nam \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{6}}\). Aby dowieść że a=2h układamy proste równanie wykorzystując dany nam cosinus kąta, 1/3 wys. podstawy (trójkąta równobocznego), oraz wysokość ściany bocznej oznaczonej jako h.

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}= \frac{a\sqrt{3}}{6h}}\)

\(\displaystyle{ a=2h}\) - No i mamy udowodnione.

Kolejnym krokiem jakim się posłużyłem było ułożenie twierdzenia Pitagorasa biorąc pod uwagę naszą wyskość H:

\(\displaystyle{ H^{2} + (\frac{a\sqrt{3}}{6})^{2}= (\frac{a}{2})^{2}}\)

Wykonuje obliczenia i ostatecznie dostaje:

\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{6} }{6}}\).

Mam wyznaczoną wysokość H oraz 2/3 wysokości względem naszej krawędzi podstawy oznaczonej a.
Zatem szukam tangensa kata zaznaczonego na zielono oznaczmy sobie go jako \(\displaystyle{ \alpha}\) :

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Niestety jest to złe rozwiązanie. Prośba do was o wskazówki dotyczące prawidłowego rozwiązania.

[czeslaw]

Nie rozumiem, dlaczego dowodzisz że a=2h. Jeśli dobrze zrozumiałem, o co Ci chodzi, i nie pogubiłem się w oznaczeniach, to:
a jest długością boku trójkąta w podstawie
h jest długością wysokości tego trójkąta

Wobec tego \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\), a nie a=2h.
Przepraszam, jeśli sieję zamęt, ale nie mogę do tego dojść.

Zrobiłem po swojemu, otrzymałem ten sam wynik zupełnie inną metodą. Jesteś pewien, że to zły wynik?

edit: aha, chyba pogubiłeś oznaczenia - jako h oznaczyłeś zarówno wysokość podstawy, jak i wysokość ściany bocznej.

[Inkwizytor]

czesław
Można się domyślić że h dotyczy ściany bocznej, bo dla trójkąt równobocznego (podstawa) jest to nieprawda


1. Po co udowadniać że a=2h? Skoro liczysz to z DANYCH w zadaniu.
2. A może by tak krawędź boczną znaleźć prościej z Pitagorasa ściany bocznej?
\(\displaystyle{ k^2 = {(0.5a)}^2 + {(0.5a)}^2}\)
3. krawędź \(\displaystyle{ k = 0.5 \sqrt{2}a}\)
3. Cosinus nachylenia krawędzi to już pikuś

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{6}}{3}}\)