pole powierzchni całkowitej walca

[szymek12]

Objętość walca jest równa \(\displaystyle{ 250}\)\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ cm ^{3}}\).Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

[lukasz1804]

Oznaczmy \(\displaystyle{ V=250\pi\ cm^3}\). Ze wzoru na objętość walca mamy \(\displaystyle{ V=\pi r^2h}\), gdzie \(\displaystyle{ r, h}\) oznaczają promień podstawy i wysokość walca odpowiednio.
Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca mamy natomiast \(\displaystyle{ P=2\pi r^2+2\pi rh}\). Stąd i z powyższego dostajemy \(\displaystyle{ P=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}}\). Przy tym oczywiście \(\displaystyle{ r>0}\) jako długość odcinka.
Otrzymujemy w ten sposób funkcję \(\displaystyle{ P:(0,+\infty)\ni r\mapsto 2\pi r^2+\frac{2V}{r}}\).
Jest to funkcja różniczkowalna, przy tym \(\displaystyle{ P'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}}\) dla \(\displaystyle{ r\in(0,+\infty)}\). Stąd w szczególności \(\displaystyle{ P'(r)=0}\) dla \(\displaystyle{ r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}\).
Łatwo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ P'(r)<0}\) dla \(\displaystyle{ r\in(0,\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})}\) oraz \(\displaystyle{ P'(r)>0}\) dla \(\displaystyle{ r\in(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},+\infty)}\).
Zatem najmniejszą objętość ma walec o promieniu długości \(\displaystyle{ r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}\), tj. \(\displaystyle{ r=5\ cm}\).