Stożek, płaszczyzna nachylona, pole przekroju

[patry93]

Witam.

Przez wierzchołek stożka poprowadzono płaszczyznę nachyloną do wysokości \(\displaystyle{ h}\) tego stożka pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\). Tworząca stożka nachylona jest do podstawy pod kątem o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć pole otrzymanego przekroju.

Legenda: AB - średnica podstawy stożka; O - środek AB; C - wierzchołek stożka; \(\displaystyle{ \delta}\) - powierzchnia podstawy stożka; \(\displaystyle{ \pi}\) - płaszczyzna będąca przekrojem; \(\displaystyle{ Y = AB \cap \pi}\); \(\displaystyle{ XZ = \pi \cap \delta}\); \(\displaystyle{ \beta = \sphericalangle OCY \ ; \ \alpha = \sphericalangle OBC}\)

Szukane pole przekroju, to: \(\displaystyle{ [XZC] = \frac{1}{2} \cdot XZ \cdot CY \ (*)}\)
Z tw. Pitagorasa mam: \(\displaystyle{ OY^2+YZ^2=OZ^2 \ (**)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ OZ=OB}\) oraz z tw. Snelliusa \(\displaystyle{ \frac{OB}{cos \alpha} = \frac{OC}{sin \alpha} \Rightarrow OB= \frac{OC cos \alpha}{sin \alpha} = OC ctg \alpha}\)
Również z tw. Snelliusa mam: \(\displaystyle{ \frac{OY}{sin \beta} = \frac{OC}{cos \beta} = CY (***) \ \Rightarrow OY = \frac{OC sin \beta}{cos \beta} = OC tg \beta}\)
Podstawiam do (**)
\(\displaystyle{ YZ^2 = (OC ctg \alpha)^2 - (OC tg \beta)^2 = OC^2(ctg^2 \alpha - tg^2 \beta) \\ XZ = 2 \sqrt{YZ^2} = 2OC \sqrt{ ctg^2 \alpha - tg^2 \beta}}\)
Z (***) mam \(\displaystyle{ CY= \frac{OC}{cos \beta}}\)
Podstawiam wszystko do (*)
\(\displaystyle{ [XZC] = \frac{1}{2} \cdot 2 OC \sqrt{ ctg^2 \alpha - tg^2 \beta} \cdot \frac{OC}{cos \beta} = \frac{h^2}{cos \beta} \sqrt{ ctg^2 \alpha - tg^2 \beta}}\)

Gdzie jest błąd? Wynik wyszedł mi "podobno" zły, ponieważ powinno być \(\displaystyle{ \frac{h^2 \sqrt{1-tg^2 \alpha tg^2 \beta}}{tg \alpha cos \beta}}\)

Pozdrawiam, P.

[lukasz1804]

Otrzymany przez Ciebie wynik jest poprawny. Przecież \(\displaystyle{ \frac{h^2\sqrt{1-\tan^2\alpha\tan^2\beta}}{\tan\alpha\cos\beta}=\frac{h^2}{\cos\beta}\cdot\frac{\sqrt{1-\tan^2\alpha\tan^2\beta}}{\tan\alpha}=\frac{h^2}{\cos\beta}\cdot\sqrt{\frac{1-\tan^2\alpha\tan^2\beta}{\tan^2\alpha}}=\frac{h^2}{\cos\beta}\cdot\sqrt{\frac{1}{\tan^2\alpha}-\tan^2\beta}=\frac{h^2}{\cos\beta}\cdot\sqrt{(\frac{1}{\tan\alpha})^2-\tan^2\beta}=\frac{h^2}{\cos\beta}\cdot\sqrt{\cot^2\alpha-\tan^2\beta}=\frac{h^2\sqrt{\cot^2\alpha-\tan^2\beta}}{\cos\beta}}\).