Ostrosłup trójkątny, płaszczyzna przecinająca,kąt dwuścienny

[patry93]

Witam.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wysokość \(\displaystyle{ H=a}\), gdzie \(\displaystyle{ 2a}\) to długość krawędzi podstawy, przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch boków podstawy. Pole otrzymanego przekroju \(\displaystyle{ P=6}\). Obliczyć \(\displaystyle{ a}\), długość krawędzi bocznej oraz miarę kąta dwuściennego między ścianą boczną a podstawą tego ostrosłupa.

Mała legenda: A, B, C - wierzchołki podstawy; D - wierzchołek ostrosłupa; E - spodek wysokości ostrosłupa; B' - środek AB; C' - środek AC; F - środek B'C'; G - spodek wysokości AG

Przechodząc do zadania:
\(\displaystyle{ AG = \frac{2a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} \\ AE = \frac{2a \sqrt{3}}{3} \\ AF = \frac{AG}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}}\)
Z tw. Talesa: \(\displaystyle{ \frac{FD'}{AF} = \frac{DE}{AE} \iff FD' = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2a \sqrt{3}} = \frac{3a}{4}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ P=6= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{3a}{4} \iff a^2 = 16 \iff a=4}\)
Z tw. Pitagorasa: \(\displaystyle{ AD = \sqrt{ ( \frac{a \sqrt{3}}{2} )^2 + ( \frac{3a}{4} )^2 } = \sqrt{21}}\)
I jeszcze kąt dwuścienny został, czyli: \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{H}{ \frac{AG}{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}}\)

Proszę o sprawdzenie, ponieważ standardowo moje odp. nie współgrają z książkowymi, tzn. tam jest \(\displaystyle{ AD = 4 \sqrt{ \frac{7}{3}}}\), a kąta w ogóle nie ma w odpowiedziach... (co ciekawe - wartość \(\displaystyle{ a}\) się zgadza o_O).

Pozdrawiam, P.

[lina2002]

Nie napisałeś co oznaczyłeś przez \(\displaystyle{ D'}\), ale domyśliłam się, że wierzchołek przekroju.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \left|AD \right| = \sqrt{|AE|^2+|DE|^2}=\sqrt{ (\frac{2a \sqrt{3} }{3}) ^2+a^2}=...}\), więc wyjątkowo odpowiedź w ksiązce jest dobra .

[patry93]

Nie myślę już... dziękuję.
Kąt dobrze?

[lina2002]

Dobrze. Gdyby był źle, to bym wcześniej napisała .

Pozdrawiam.