kula w czworoscianie foremnym

[werix]

wykaż, że środek kuli wpisanej w czworościan foremny dzieli wysokość tego czworościany w stosunku 1:3
ktos ma jakis pomysł jaki przekrój wziąść..??? jakakolwiek wskazowka by mi sie przydała, bo probuje na rozne sposoby i nic...:/

[florek177]

Rozpatrujesz trójkąt prostokątny: \(\displaystyle{ H, x, 3{\cdot}x\:\}\) gdzie: \(\displaystyle{ H \:\}\)- wysokość czworościanu, \(\displaystyle{ x \:\}\) odległość od środka podstawy do krawędzi podstawy ( jest trzecią częścią wysokości boku czworościanu; \(\displaystyle{ 3{\cdot}x\:\}\) - przekątna - wysokość czworościanu. \(\displaystyle{ r \:\}\) - promień kuli, jest prostopadły do wysokości ścian czworościanu, \(\displaystyle{ \alpha\:\}\) - kąt między wysokościami \(\displaystyle{ H,\ 3{\cdot}x\:\}\).
Mamy: \(\displaystyle{ \frac{x}{3{\cdot}x}=sin(\alpha)=\frac{1}{3}\:\}\); i dalej \(\displaystyle{ \frac{r}{H-r}=\frac{1}{3}\:\}\) c.n.w.