Kula wpisana w ostrosłup prawidłowy

[Bartek1991]

Jestem ciekawy czy dobrze rozwiązałem takie zadanie:

W ostrosłupie prawidłowym o wysokości h krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Jakie wartości może przyjmowąc miara kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

Zadanie rozwiązuję w ten sposób, że rozpatruję jedną ze ścian ostrosłupa (którą konkretnie nie ma znaczenia - wszystkie są takie same), przyjmując oznaczenia:

h - wysokość ostrosłupa
H - wysokośc ściany
l - krawędź ściany
a - długość podstawy danej ściany
r - poszukiwany promień

z tw. Pitagorasa mamy takie równania:

\(\displaystyle{ ( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 + h^2 = H^2 \\ h^2 + ( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 = l^2}\),
ponad to \(\displaystyle{ H = l \sin \alpha}\)

Korzystając z tych trzech równań wyznaczam \(\displaystyle{ a}\), i potem długość promienia:

\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{ \frac{1}{2}a }}\), ostatecznie:

\(\displaystyle{ r = \sqrt{3} h \tan \frac{ \alpha}{2} \sqrt{ \frac{ \sin^2 \alpha -1}{1 - 4 \sin^2 \alpha} }}\)

Pytanie jakie może być \(\displaystyle{ \alpha}\) ? Ano takie, żeby to co jest pod pierwiastkiem było większe od zera, i ponad to spełniało warunek \(\displaystyle{ \alpha \in ( 0; \frac{\pi}{2} )}\). Po rozwiązaniu prostych nierówności trygonometrycznych mamy:

\(\displaystyle{ \alpha \in ( \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{2})}\)

Jest ok ?

[anna_]

post436417.htm#p436417

[Bartek1991]

Tam jest zupełnie inna postać niż ja otrzymałem, i po podstawieniu za kąt przykładowej wartości otrzymałem jednak różne wyniki, czyli raczej coś mam źle. Mógłby ktoś pomóc? Bo odziwo warunek na kąt jest taki sam, poprawny.

[anna_]

Możesz mi powiedzieć skąd się to wzięło?

\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{ \frac{1}{2}a }}\)

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/91ed6b1f295/

Nie wiem czy to jest najkrótszy sposób, ale

\(\displaystyle{ tg \frac{\beta}{2}= \frac{r}{ \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} }= \frac{2r \sqrt{3} }{2} \Rightarrow r= \frac{a \sqrt{3} tg \frac{\beta}{2} }{6}}\)

\(\displaystyle{ tg \frac{\beta}{2} = \frac{1-cos\beta}{sin\beta}}\)

\(\displaystyle{ sin\beta}\) i \(\displaystyle{ cos\beta}\) policzysz z trójkąta S'ES, potem \(\displaystyle{ tg \frac{\beta}{2}}\), a potem \(\displaystyle{ r}\)

\(\displaystyle{ tg \frac{\beta}{2}= \frac{ \sqrt{3}sin\alpha-|cos\alpha| }{\sqrt{4sin^2\alpha-1}}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} ( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 + h^2 = H^2 \\ tg\alpha=\frac{H}{ \frac{1}{2}a } \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{3}h }{ \sqrt{1-3 tg^2\alpha }}}\)

\(\displaystyle{ H= \frac{h \sqrt{3}tg\alpha }{\sqrt{1-3 tg^2\alpha }}}\)

[Inkwizytor]

Mi wyszło:
\(\displaystyle{ r=h \cdot \frac{cos \alpha }{cos \alpha + \sqrt{1 + 3{sin }^{2} \alpha } }}\)

Panowie! Czemu tak komplikujecie sobie pomocnicze długości???

krawędź podstawy \(\displaystyle{ a = h\sqrt{3}ctg \alpha}\)
wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ H = h \frac{\sqrt{1 + 3{sin}^{2} \alpha }}{2sin \alpha}}\)

prosta zależność z trójkątów podobnych:
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6H} = \frac{r}{h-r}}\)

[anna_]

Nie jestem pewna czy Twoje wzory są prostsze od moich.
Poza tym Twoje \(\displaystyle{ a}\) nie jest równe mojemu \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ H}\) też się nie zgadza. Więc gdzieś masz błąd, bo moje \(\displaystyle{ r}\) jest równe odpowiedzi zadania z podanego linka.

PS Nie jestem panem tylko panią.

Przyznaję, że podobieństwo jest krótszym rozwiązaniem, kąt \(\displaystyle{ \beta}\) nie będzie wtedy potrzebny.

\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6H} = \frac{r}{h-r}}\)

podstawiając \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ H}\), po uproszczeniu wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3} tg\alpha} = \frac{r}{h-r} \Rightarrow r = \frac{h}{1+ \sqrt{3} tg\alpha}}\)

[Inkwizytor]

Najmocniej Panią przepraszam

W gruncie rzeczy różnica jest drobna (bo tylko to (1+...) pod pierwiastkiem). Musze tylko wykopać notatki i sprawdzić. Przynajmniej wiem w którym miejscu szukać

[anna_]

Zmieniłam dwa poprzednie posty, dodałam prostszy układ równań.

Sprawdź też czy \(\displaystyle{ r}\) jest równe \(\displaystyle{ r=h \frac{ \sqrt{3} \left|tg \alpha \right|-1 }{3tg ^{2} \alpha -1 }}\)

Sprawdziłam swoje rozwiązania dla przykładowego kąta 60, w obu przypadkach wyszło to samo.

[Inkwizytor]

Sprawdź też czy \(\displaystyle{ r}\) jest równe \(\displaystyle{ r=h \frac{ \sqrt{3} \left|tg \alpha \right|-1 }{3tg ^{2} \alpha -1 }}\)

Ale to widać od razu
Nie wiem skąd to przywiązanie do wartości bezwzględnej. W zadaniach geometrycznych kąt zwykle (tu na pewno) należy do pierwszej ćwiartki.
\(\displaystyle{ r=h \frac{ \sqrt{3} tg \alpha -1 }{{(\sqrt{3}tg \alpha)} ^{2} -1^2 }}\)

Po skróceniu zostaje Twój poprzedni wynik, więc są tożsame

Moje obliczenia:
k- krawędź boczna, H- wysokość ściany bocznej, a - krawędź podstawy
Najpierw bok a:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{2}{3} \cdot h_{podst}}{h} = ctg \alpha \\
\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = h \cdot ctg \alpha \\
\frac{a}{\sqrt{3}} = h \cdot ctg \alpha \\
a = \sqrt{3}h \cdot ctg \alpha}\)

Teraz wysokość ściany bocznej H:

\(\displaystyle{ k = \frac{h}{sin \alpha}}\)
stąd
\(\displaystyle{ H^2 = k^2 - {(\frac{a}{2})}^2 \\
H^2 = { \left[\frac{h}{sin \alpha} \right]}^2 - { \left[\frac{\sqrt{3}h ctg \alpha}{2} \right] }^2 \\
H^2 = h^2 \cdot \left[ \frac{1}{sin^2 \alpha} - \frac{3 ctg^2 \alpha}{4} \right] \\}\)
teraz wspólny mianownik
\(\displaystyle{ H^2 = h^2 \cdot \left[ \frac{4}{4sin^2 \alpha} - \frac{3 ctg^2 \alpha sin^2 \alpha}{4sin^2 \alpha} \right] \\
H^2 = \frac{h^2}{4sin^2 \alpha} \cdot \left[4 - 3 ctg^2 \alpha sin^2 \alpha \right]\\
H^2 = \frac{h^2}{4sin^2 \alpha} \cdot \left[ 1+ 3 - 3 cos^2 \alpha \right] \\
H^2 = \frac{h^2}{4sin^2 \alpha} \cdot \left[ 1+ 3sin^2 \alpha \right] \\}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ H = \frac{h \sqrt{1+ 3sin^2 \alpha}}{2sin \alpha}}\)

Dlatego podstawiając do lewej strony wspomnianej zależności:
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6H} = \frac{r}{h-r}}\)
lewa strona wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{cos \alpha}{ \sqrt{1 + 3sin^2 \alpha }} = \frac{r}{h-r}}\)

[anna_]

Moje obliczenia:
k- krawędź boczna, H- wysokość ściany bocznej, a - krawędź podstawy
Najpierw bok a:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{2}{3} \cdot h_{podst}}{h} = ctg \alpha}\)

Ale \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Z Twoich obliczeń wynika, że to kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Chodziło mi, żebyś sprawdził swoje \(\displaystyle{ r}\), a nie moje.
Ja swoje sprawdziłam.

[Inkwizytor]

"do krawędzi podstawy" {z braku emotikona walącego głową w mur}

Przynajmniej jedno r już Tobie sprawdziłem (z 14 lipca z 8:39)
Korzyść z tego widze taką że w razie czego masz inną wersję zadania z głowy (gdyby sie kiedyś trafiło z kątem nachylenia krawędzi bocznej do podstawy )

W tej postaci zadanie jest w takim razie banalne:

Dlatego podstawiając do lewej strony wspomnianej zależności:
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6H} = \frac{r}{h-r}}\)
lewa strona wychodzi:

\(\displaystyle{ ctg \alpha=\frac{( \frac{a}{2})}{H } = \frac{a}{2H}}\)

Podstawiasz do proporcji i pozamiatane
Co prawda moja wersja wychodzi:
\(\displaystyle{ r = h \cdot \frac{ctg \alpha}{\sqrt{3} +ctg\alpha}}\)
ale łatwo dowieść że jest to tożsame z twoim:
\(\displaystyle{ r = \frac{h}{1+ \sqrt{3} tg\alpha}}\)
wystarczy w moim licznik i mianownik pomnożyć razy tangens

[matematyk1995]

W tym zadania jest coś dziwnego.

Mamy tak: (według oznaczeń)
\(\displaystyle{ H= \frac{1}{2} a\tg \alpha}\) - z układu równań z postu 4

Z podobieństwa możemy ułożyć takie równanie:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a\sqrt{3}}{6} }{H} = \frac{r}{h-r}}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ H= \frac{1}{2} a\tg \alpha}\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3} tg\alpha} = \frac{r}{h-r} \Rightarrow r = \frac{h}{1+ \sqrt{3} tg\alpha}}\)

Zmierzam do tego że nie trzeba wyliczać a-długość krawędzi podstawy, bo i tak się skraca w równaniu
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a\sqrt{3}}{6} }{H} = \frac{r}{h-r}}\) Więc jak wyliczyc ograniczenie dla kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) skoro wgl nie liczymy a?

Gdzie jest luka w moim rozumowaniu?