Objętość walca leżącego...

[fifol]

Witam, prosze o pomoc w następującym zadaniu: mam zbiornik w kształcie walca leżącego poziomo (leży na powierzchni bocznej a nie na podstawie), muszę znaleźć funkcję opisującą objętość względem wysokości poziomu cieczy w zbiorniku. Czy mógłby któs mnie nakierować na rozwiązanie? Z góry dziękuję.

[Inkwizytor]

niech h to będzie ta wysokość cieczy

Objętość to będzie:

\(\displaystyle{ V(h)= P_{podst}(h) \cdot H}\)
H - to wysokość walca lub inaczej długość leżącego zbiornika

Zostaje nam kwestia podstawy.

Narysuj okręg o środku w (0,0) i promieniu R
Punkty przecięcia z osiami to (-R,0);(0,R);(R,0);(0,-R)
Na pewnej wysokości na dodatniej części (dla ułatwienia) narysuj poziomą cięciwę. Znajduje się ona na wysokości R-h do osi OX.
Szukamy punktów wspólnych z okręgiem: (-x1 ; R-h) oraz (x1 ; R-h)

Równanie okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=R^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=R^{2}-y^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=R^{2}-(R-h)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=(R-(R-h)) \cdot (R+(R-h))}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=h\cdot(2R-h)}\)
\(\displaystyle{ x _{1,2} = \pm \sqrt{h\cdot(2R-h)}}\)

Górny łuk ma wzór \(\displaystyle{ y = \sqrt{R^{2}-x^{2}}}\)

Pole górnego obszaru ograniczonego łukiem okręgu i prostą y=R-h wynosi
\(\displaystyle{ P_{podst} = \int_{-\sqrt{h\cdot(2R-h)}}^{\sqrt{h\cdot(2R-h)}} \sqrt{R^{2}-x^{2}} - (R-h) \mbox{d}x}\)
Ponieważ oś OY jest osią symetrii to można trochę uprościć przedział całkowania:

\(\displaystyle{ P_{podst} = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{h\cdot(2R-h)}} \sqrt{R^{2}-x^{2}} - (R-h) \mbox{d}x}\)

Dalej chyba dasz radę.

[fifol]

Dziekuję bardzo za pomoc.-- 8 lip 2009, o 14:16 --mam jeszcze jedno pytanie..jeśli ograniczeniami są funkcje górnego łuku i prostej y=R-h to nie powinny być one w granicach całki? i Jakby wyglądała całka w przypadku gdy chcemy policzyć dolny obszar?
z góry wielkie dzieki:)

[Inkwizytor]

mam jeszcze jedno pytanie..jeśli ograniczeniami są funkcje górnego łuku i prostej y=R-h to nie powinny być one w granicach całki?

No właśnie są. Dlatego szukałem punktów przecięcia górnego łuku i prostej. Bo tylko w tym przedziale <-x1,x1> znajduje się interesujący nas obszar.

i Jakby wyglądała całka w przypadku gdy chcemy policzyć dolny obszar?
z góry wielkie dzieki:)

Jeśli "dolny obszar" oznacza "od prostej y= R-h do OX" to:
Rozbijamy na trzy całki których wyniki zsumujemy:
1. całka1 od -R do -x1 wzór górnego łuku (bo dołem jest OX czyli y=0 stąd powinniśmy odjąc 0)
2. całka2 od -x1 do x1 z R-h (u dołu znowu OX)
3. całka3 od x1 do R wzór górnego łuku (to samo)

Oczywiście ponownie jest symetrycznie wiec mozna zrobic: 2*(całka2 od 0 do x1 + całka3)

Jeśli "dolny obszar" oznacza "od prostej y= R-h do dolnego łuku" to:
Rozbijamy również na trzy całki których wyniki zsumujemy:
1. całka1 od -R do -x1 wzór górnego łuku MINUS dolny łuk (Ponieważ dolny ma znak przeciwny więc de facto będzie to podwojenie wzoru)
2. całka2 od -x1 do x1 z R-h MINUS dolny łuk
3. całka3 od x1 do R tak jak całka1

Ponowna symetryczność zachęca do uproszczenia sprawy
Inna wersja tego drugiego przypadku to oczywiście \(\displaystyle{ \pi r^{2} -}\)pole obszaru liczone na samym początku

[bedbet]

A ja zadam inne pytanie. Czy ta woda przepływa ciągle przez ten walec?

[fifol]

Właściwie tak, poziom cieczy będzie zmieniał się w zakresie 0 do 2R. Zaproponowane rozwiązanie przez Inkwizytora nie do końca się sprawdza...funkcja jaką wyprowadził zachowuje sie bardzo dziwnie..sprawdza się wyłącznie dla poziomu R i 2R. (50% wypelnienia i 100% wypełnienia zbiornika). W przypadku poziomu 0 funkcja zwraca wartość wypełnienia równą 100%.
W zadaniu głównie rozchodzi się o policzenie powierzchni pomiędzy dolną krawędzią zbiornika a poziomem cieczy(zakreskowany obszar na rysunku) .Dalsze obliczenie objętość nie jest problemem -- 9 lip 2009, o 09:32 --...a gdyby tak przesunąć srodek okręgu w układzie współrzędnych z (0,0) do (0,R) to poziom faktycznie bedzie mozna ropatrywać w przedziale 0 do 2R ale, wtedy równanie okręgu zmieni swoją postać.....

[Inkwizytor]

Właściwie tak, poziom cieczy będzie zmieniał się w zakresie 0 do 2R. Zaproponowane rozwiązanie przez Inkwizytora nie do końca się sprawdza...funkcja jaką wyprowadził zachowuje sie bardzo dziwnie..sprawdza się wyłącznie dla poziomu R i 2R. (50% wypelnienia i 100% wypełnienia zbiornika). W przypadku poziomu 0 funkcja zwraca wartość wypełnienia równą 100%.

Już tłumaczę. Odwrotnie zinterpretowałeś ja sobie dla ułatwienia (hehehehe) odwróciłem zbiornik. Zakreskuj odwrotnie i wszystko jasne

-- 9 lip 2009, o 09:40 --

już poprawiam. Daj mi pare minut

-- 9 lip 2009, o 09:57 --

Bez zbędnych udziwnień i "uproszczeń"
Rysujemy kółko ze środkiem (0,0) i zakładamy że poziom cieczy rośnie od dołu. x1 - punkt przecięcia prostej i okręgu.

Jeśli \(\displaystyle{ h \le R}\) to:
Wzór na pole przekroju:

\(\displaystyle{ P_{podst} = 2\int_{0}^{x1} (-R+h) + \sqrt{R^{2}-x^{2}}\mbox{d}x}\)

Przed pierwiastkiem w funkcji podcałkowej jest plus bo się robi z dwóch minusów (jeden ze wzoru łuku dolnego, drugi z odejmowania ograniczenia dolnego)

Jeśli \(\displaystyle{ h > R}\) to:
Wzór na pole przekroju:

\(\displaystyle{ P_{podst} = 0,5 \cdot \pi r^2 + 2 \left[ \int_{0}^{x1} h-R \mbox{d}x + \int_{x1}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}}\mbox{d}x \right]}\)

Przepraszam za zamieszanie. Zastosowałem za duży skrót myślowy, a potem nie do końca zrozumiałem Twoje pytanie o te dolne pola. Moja wina.

[fifol]

czyli \(\displaystyle{ x_1= \sqrt{h*(2R-h)}}\) ?

Pamiętaj o klamrach \(\displaystyle{ . Justka}\)

[Inkwizytor]

Tak. x1 bez zmian. Dla dolnego i górnego łuku wzór jest taki sam jeśli rozpatrujemy tylko dodatnią część osi OX