ostrosłup prawidłowy czworokątny

funbike · Post autor: **funbike** » 22 mar 2006, o 22:38

Dany jest prawidłowy ostrosłup czworokątny, którego krawędź boczna ma długość k, a pole powierzchni jego przekroju płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość przybiera maksymalną wartość. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Próbowałem z pochodnych obliczyć wysokość i krawędź podstawy ale coś mi nie wychodzi.
Czy mógłby ktoś szczegółowo rozwiązac to zadanie?

PS. Umkneło mi ale w temacie byłoże jest czworokatny

ozon · Post autor: **ozon** » 22 mar 2006, o 23:29

czy pole też jest dane? znając tylko k niewiele da sie zrobić

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 22 mar 2006, o 23:40

Jak to niewiele? Wystarczy skorzystac z tego, ze jesli a,b to boki trojkata, a to kat miedzy nimi, to \(\displaystyle{ 2S=ab\sin\alpha q ab}\). Poradzisz sobie.

funbike · Post autor: **funbike** » 22 mar 2006, o 23:46

Pola nie ma podanego niestety.

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 23 mar 2006, o 00:05

Pole powierzchni jego przekroju płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość,
jest trójkątem równoramiennym. Wysokość
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{k^{2} - (\frac{x}{2})^{2}}}\)
Pole przekroju
\(\displaystyle{ p(x)\,=\,\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{k^{2} - (\frac{x}{2})^{2}}}\)
Liczymy pochodną
\(\displaystyle{ p'(x) \,=\,\frac{ 2\cdot k^{2} - x^{2} }{ 2\cdot \sqrt{4\cdot k^{2} - x^{2}} }}\)
wtedy exstremun mamy dla
\(\displaystyle{ x\,=\,\sqrt{2}\cdot k}\)
objętość
\(\displaystyle{ V\,=\,\frac{1}{3}\cdot (\sqrt{2}\cdot k)^{2}\cdot (\sqrt{2}\cdot \frac{k}{2})}\)

Zmieniłem, bo poprzednia wersja nie była poprawna.
Zorientowałem się już po wysłaniu i poprawiłem dzisiaj.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 23 mar 2006, o 08:45

Może tak? Pole powierzchni jego przekroju płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość,
jest trójkątem i przybiera maksymalną wartość, gdy ten trójkąt jest równoboczny.

Jestes pewien?

Niech \(\displaystyle{ S}\) - pole tego przekroju, \(\displaystyle{ \alpha}\) - kat miedzy bokami \(\displaystyle{ k,k}\) tego trojkata.

\(\displaystyle{ 2S = k\cdot k\cdot \sin\alpha q k^2}\). Rownosc zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2}}\).

Wnioskujemy stad, ze jest to trojkat prostokatny rownoramienny o boku \(\displaystyle{ k}\), jego wysokosc to \(\displaystyle{ h=\frac{k\sqrt{2}}{2}}\) etc., dalej autor watku z pewnoscia sobie poradzi.