Zagadka - wzór Eulera a wielościan wklęsły

TomAss83 · Post autor: **TomAss83** » 24 cze 2009, o 14:31

Witam. Znalazłem tutaj:

http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp

ciekawy i intuicyjny dowód na słuszność twierdzenia Eulera o relacjach między liczbą krawędzi, wierzchołków i ścian wielościanu wypukłego. Nie rozumiem jednego - moim zdaniem identyczne rozumowanie możnaby przeprowadzić także dla dowolnego wielościanu - niekoniecznie wypukłego - a jak wiadomo wzór eulera ma zastosowanie tylko do wielościanów wypukłych! JA widzę to w następujący sposób - dowolny wielościan niewypukły można "napompować" tak by stał się wielościanem wypukłym. Dalej wystarczy podążać tokiem rozumowania autora dowodu i wyjdzie na to że twierdzenie eulera jest też prawdziwe dla wielościanów niewypukłych! Czy ktoś jest w stanie wyjaśnić mi gdzie tkwi błąd w moim rozumowaniu?

Pozdrawiam
Tomek

kadiii · Post autor: **kadiii** » 24 cze 2009, o 16:10

Zastanów się czym są tak naprawdę wielościany wypukłe. Co do twojego rozumowania o "pompowaniu", to jest ono prawidłowe - taki rodzaj wielościanów spełnia twierdzenie Eulera \(\displaystyle{ W+S=K+2}\)

TomAss83 · Post autor: **TomAss83** » 25 cze 2009, o 11:25

Nie wiem czy dobrze kombinuję - czy chodzi o to że za wielościan niewypukły można na przykład uznać coś takiego jak "ociosany" torus? Wtedy oczywiście "napompowanie" go nie da nam sfery tylko torus właśnie. Problem tkwi w precyzyjnej definicji - czym jest wielościan. Czy na przykład sześcian z wyciętą dziurą o przekroju prostokąta też jest wielościanem? Innymi słowy, czy powierzchnia każdego wielościanu jest topologicznie równoważna sferze? Czy też jest to prawda jedynie dla wielościanów wypukłych? Jeśli bowiem faktycznie powierzchnia wielościanu niewypukłego nie musi być topologicznie równoważna sferze, a np. torusowi to wynika z tego że pompując go otrzymamy nie "kulę" a np. "dętkę" i rozważany dowód wysypuje się na pierwszym kroku.

kadiii · Post autor: **kadiii** » 25 cze 2009, o 20:00

Może tak - wzór Eulera jest prawdziwy dla wielościanów, których siatki tworzą graf planarny. Co do wielościanów to wielościany wypukłe mają jasną definicję - są to wielościany, w których dowolny odcinek łączący 2 punkty należące do wielościanu nalezy do wieloscianu. Nie koniecznie potrzeba więc definiowac pozostałą grupę wielościanów nie wypukłych. Przykładowe wielościany niewypukłe, dla których nie zawsze zachodzi tw. Eulera możesz znaleźć łatwo w internecie wpisując hasło non-convex polyhedron.

TomAss83 · Post autor: **TomAss83** » 26 cze 2009, o 15:49

Poszukałem i znalazłem wielościany niewypukłe które są topologicznie torusem - np. Császár polyhedron.
Pompując go otrzymamy nie sferę a dętkę właśnie. To wyjaśnie wszystko. Po prostu nie byłem pewien czym w ogólności jest wielościan. Ktoś kiedyś powiedział:
"Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa, i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych. Nigdy nie udało im się określić czym są wielościany."

Twierdzenie eulera możnaby zatem moim zdaniem rozszerzyć do klasy wielościanów których powierzchnie są topologicznie sferą. Jest to klasa szersza niż wielościany wypukłe. Część wielościanów nie wypukłych również będzie spełniać wzór eulera.

Pozdrawiam

kadiii · Post autor: **kadiii** » 26 cze 2009, o 21:57

Jasne, że można rozszerzać tyle, że Euler zajmował sie teorią grafów i jego twierdzenie odnosi się do grafów - zależność dla konkretnych grup wielościanów jest tylko interpretacją w dziedzinie stereometrii.