długość przekątnej prostopadłościanu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
evelajka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 23 mar 2007, o 10:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poniatowa

długość przekątnej prostopadłościanu

Post autor: evelajka »

Długość przekątnej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi c. Jaką największa wartość może osiągnąć suma długości wszystkich krawędzi?
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

długość przekątnej prostopadłościanu

Post autor: lukasz1804 »

\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy, \(\displaystyle{ b}\) - krawędź boczna;
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (a\sqrt{2})^2+b^2=c^2}\), tj. \(\displaystyle{ 2a^2+b^2=c^2}\).
Suma długości wszystkich krawędzi wyraża się wzorem \(\displaystyle{ 8a+4b}\), czyli w myśl powyższego \(\displaystyle{ 8a+4\sqrt{c^2-2a^2}}\).
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:(0,\frac{c\sqrt{2}}{2})\to\mathbb{R}}\) daną wzorem
\(\displaystyle{ f(a)=8a+4\sqrt{c^2-2a^2}}\) dla \(\displaystyle{ a\in(0,\frac{c\sqrt{2}}{2})}\).
Jest to funkcja różniczkowalna, przy tym
\(\displaystyle{ f'(a)=8-\frac{8a}{\sqrt{c^2-2a^2}}}\) dla \(\displaystyle{ a\in(0,\frac{c\sqrt{2}}{2})}\).
Stąd \(\displaystyle{ f'(a)=0}\), gdy \(\displaystyle{ a=\frac{c\sqrt{3}}{3}}\).
Łatwo sprawdzamy (badając znak pochodnej), że dla \(\displaystyle{ a=\frac{c\sqrt{3}}{3}}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga maksimum lokalne równe \(\displaystyle{ 4c\sqrt{3}}\). Jest to największa wartość sumy krawędzi prostopadłościanu.
ODPOWIEDZ