walec i kula

[Andreas]

W półkulę o promieniu R wpisany jest walec. Podstawy obu figur mają wspólny środek, a ich osie symetrii pokrywają się. Dobierz promień podstawy walca tak, by jego pole powierzchni bocznej było największe.

Proszę o pomoc z tym zadaniem

[Yaco_89]

Narysuj sobie przekrój tej półkuli i walca płaszczyzną prostopadłą do podstaw, wyjdzie Ci półkole a w nim wpisany prostokąt. Oznaczmy np. r-promień podstawy walca, h - wysokość. Zauważamy, że pole powierzchni bocznej dane jest wzorem:
\(\displaystyle{ S=2 \pi r h}\)
a ponieważ r i h są nierównoległymi bokami prostokąta, to zachodzi między nimi związek
\(\displaystyle{ h^{2}+r ^{2}=R ^{2}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ h= \sqrt{R ^{2} -r ^{2} }}\)
Teraz możemy wyrazić pole powierzchni bocznej walca jako funkcję zmiennej r:
\(\displaystyle{ S(r)=2 \pi r\sqrt{R ^{2} -r ^{2} }}\)
przy czym oczywiście \(\displaystyle{ r \in (0,R)}\). No i pozostaje znaleźć maksimum funkcji w danym przedziale, poradzisz sobie już z tym?

[Andreas]

Dzięki.

Dalej zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ S'(r)=2 \pi \left( \sqrt{R^2-r^2}+ \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} \right) = \\
= 2 \pi \left( \frac{R^2}{ \sqrt{R^2-r^2} } \right)}\) (sprowadznie do wspólnego mianownika)

i wychodzi na to że pochodna zawsze większa od 0.. gdzie zrobiłem błąd?

[Yaco_89]

jak różniczkujesz pierwiastek to zgubiłeś minus w liczniku, wtedy wyjdzie w liczniku \(\displaystyle{ R ^{2}-2r^{2}}\)

[anna_]

Źle policzyłeś pochodną

\(\displaystyle{ S'(r)=2\pi \left(\frac{R^2-2r^2}{ \sqrt{R^2-r^2} } \right)}\)

[Andreas]

jak różniczkujesz pierwiastek to zgubiłeś minus w liczniku, wtedy wyjdzie w liczniku \(\displaystyle{ R ^{2}-2r^{2}}\)

Dzięki.

Właśnie zauważyłem że ten sam błąd zrobiłem w innym zadaniu z którym męczyłem się kilka godzin i nic nie chciało wyjść A to właśnie przez tą pochodną pod pierwiastkiem