Graniastosłup trójkątny

[BrYcH]

W graniastosłupie trójkątnym każdy wierzchołek jednej podstawy połączono odcinkiem z punktem przecięcia przekątnych przeciwległej (temu wierzchołku) ściany bocznej. Udowodnij że te trzy odcinki przecinają się w tym samym punkcie, który dzieli je w stosunku 1:2

W całym tym zadaniu umiem udowodnić w jakim stosunku dzielą się te odcinki, ale nie mam pomysłu jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie. Gdyby jescze to był graniastosłup prosty to bym powiedział że żuty odcinków tych na podstawę to środkowe trójkąta który tą podstawę tworzy. Zatem skoro wszystkie środkowe w trujkącie zawsze przecinają się w tym samym punkcie to i te odcinki musiały by się przecinać w tym samym punkcie. ALe tak nie jest i nie wiem co zrobić z tym mam. Codo reszty udowodniłem to następująco:

1.Odcinki AO, OC, OB, BA, BC, AC tworzą jeden ostrosłup, natomiast odcinki EF, FG, GE, GO, FO, EO tworzą drugi ostrosłup, przy czym ich podstawy są do siebie równoległe i ponadto oba ostrosłupy stykają się w punkcie O.
2.Opierając się na powyższych informacjach można łatwo stwierdzić że kąty nachylenia krawędzi bocznych do podstawy są w obu ostrosłupach kolejno jednakowe. Wiedząc to wszystko i dodatkowo to że krawędzie podstawy małego ostrosłupa stanowią połówki krawędzi tworzących podstawę dużego ostrosłupa zatem i krawędzie boczne małego ostrsłupa do krawędzi bocznych dużego ostrosłupa są jak 1:2

Czy to są wystarczające dowody na stosunek długości odcinków i jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie?

[W_Zygmunt]

Odcinek AB i GF są równoległe. Wyznaczają płaszczyznę, w której zawierają się odcinki AF i GB,
zatem te odcinki muszą się przecinać. Odcinek łączący środek AB ze środkiem GF, tez przechodzi
przez punkt „O”. Poprowadź płaszczyznę przez punkty C, C1 i środek AB. W tej płaszczyźnie leżą:
odcinek EC i wcześniej opisany odcinek łączący środki.

[BrYcH]

Udowodniłeś że AF i GB przecinają się w tym samym punkcie, jednak fakt że trzeci odcinek należy do płaszczyzny, w której leży odcinek (łączący środki odcinków AB i GF) do którego należy punkt przecięcia się dwóch poprzednich nie udowadnia że przez ten punkt przechodzi równierz trzeci odcinek(EC), bo przecież mógłby przejść nad albo pod punktem O, ale nadal w tej płaszczyźnie. Tutaj oczekiwałbym sprostowania.

[W_Zygmunt]

Oznaczmy przez Q punkt na odcinku EC, który dzieli go w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Trójkąty ABO i GFO są podobne o stosunku k=2. Stąd
\(\displaystyle{ \frac{|NO|}{|OM|}\,=\,\frac{1}{2}}\)
W trójkątach ENO i MCO boki EN i MC są równoległe ,
Odpowiednie kąty są równe, jako kąty naprzemianległe wewnętrzne,
lub wierzchołkowe.
\(\displaystyle{ |EN|\,=\,\frac{1}{2}\cdot |MC|}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{|EO|}{|O C|}\,=\,\frac{1}{2}}\)
czyli punkt O i Q to ten sam punkt.